Множество на Манделброт

Множеството на Манделброт е множество от комплексни числа ${\displaystyle c}$, за което функцията ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ не е разходяща при итерация с ${\displaystyle z=0}$, тоест за която редицата ${\displaystyle f_{c}(0)}$, ${\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}$ остава ограничена по абсолютна стойност. Кръстена е в чест на математика Беноа Манделброт.^[1] Множеството има връзка с множеството на Жулиа, тъй като и двете множества образуват сложни фрактални фигури.

Изображения на множеството на Манделброт могат да се създадат чрез тестване на комплексни числа дали редицата ${\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }$ за всяка точка ${\displaystyle c}$ е разходяща до безкрайност. Нанасянето на реалната и имагинерната част на ${\displaystyle c}$ като координати върху комплексната равнина позволява да се оцветят пикселите според това колко бързо редицата ${\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }$ преминава даден произволно избран праг с определен цвят (обикновено черен) за стойностите на ${\displaystyle c}$, за които редицата не преминава въпросния праг след предварително зададен брой итерации. Оцветяването на останалите точки, непринадлежащи на множеството, се определя от степента, с която получената от тях редица достига определена граница, отвъд която няма елементи на множеството. Ако ${\displaystyle c}$ се поддържа константа, а първоначалната стойност на ${\displaystyle z}$ (${\displaystyle z_{0}}$) стане променлива, се получава съответното множество на Жулиа за всяка точка ${\displaystyle c}$ на функцията.

Изображенията на множеството на Манделброт показват подробна и безкрайно сложна граница, която разкрива прогресивно по-фини рекурсивни детайли при увеличаване. Стилът на повтарящите се детайли зависи от областта на множеството, която се изследва. Границата на множеството, също така, включва по-малки варианти на главната форма, така че фракталното свойство на самоподобието важи за цялото множество, а не само за частите му.

Точната площ на множеството на Манделброт не е известна. Към 2012 г. тя е изчислена на приблизително 1,506 591 884 9 ± 2,8×10⁻⁹. Точната координата на центъра на масите също не е известна и е оценена на −0,286 768 420 48 ± 3,35×10⁻⁹.^[2] Увеличените изображения на множеството показват, че той има безкрайна дълбочина.^[3]

Множеството на Манделброт е популярно и извън областта на математиката, както поради естетическата си привлекателност, така и като пример за сложна структура, появяваща се от прилагането на прости правила.