മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം

20-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ പിയറി ഫാറ്റൂവും ഗാസ്റ്റൺ ജൂലിയയും ചേർന്ന് ആദ്യമായി മിശ്രചലനാത്മകതയിൽ അന്വേഷണം നടത്തുന്നതിനിടയിലാണ് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം ഉത്ഭവിച്ചത്. ക്ലീനിയൻ ഗ്രൂപ്പുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൻ്റെ ഭാഗമായി 1978-ൽ റോബർട്ട് ഡബ്ല്യു. ബ്രൂക്‌സും പീറ്റർ മാറ്റെൽസ്കിയും ചേർന്നാണ് ഈ ഫ്രാക്റ്റൽ ആദ്യമായി നിർവചിക്കുകയും വരയ്ക്കുകയും ചെയ്തത്. ^[2] 1980 മാർച്ച് 1-ന് ന്യൂയോർക്കിലെ യോർക്ക്‌ടൗൺ ഹൈറ്റ്‌സിലുള്ള ഐ.ബി.എം- ൻ്റെ തോമസ് ജെ. വാട്‌സൺ റിസർച്ച് സെൻ്ററിൽ, ബെനോയിറ്റ് മാൻ്റെൽബ്രോട്ടാണ് ആദ്യമായി ഗണത്തിൻ്റെ ദൃശ്യവൽക്കരണം കാണ്ടത്. ^[3]

1980ൽ പുറത്തിറക്കിയ ഒരു ലേഖനത്തിൽ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ദ്വിഘാത ബഹുപദങ്ങളുടെ പാരാമീറ്റർ സ്ഥലത്തിനെ കുറിച്ച് പഠിച്ചു. ^[4] മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനം യഥാർത്ഥത്തിൽ ആരംഭിച്ചത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ അഡ്രിയൻ ഡൗഡി, ജോൺ എച്ച്. ഹബ്ബാർഡ് (1985) എന്നിവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെയാണ്,^[5] അവർ അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ പല സവിശേഷതകൾ സ്ഥാപിക്കുകയും ഫ്രാക്റ്റൽ ജ്യാമിതിയിയെ സ്വാധീനിച്ച മാൻ്റെൽബ്രോട്ടിൻ്റെ പഠനങ്ങൾക്ക് ബഹുമാന സൂചകമായി സെറ്റിന് തൻ്റെ പേര് നൽകുകയും ചെയ്തു.

ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ, പുസ്തകങ്ങൾ (1986), ^[6] ജർമ്മൻ ഗോഥെ-ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യട്ടിൻ്റെ (1985) അന്താരാഷ്ട്ര ടൂറിങ് പ്രദർശനം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഗണത്തിനെ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നതിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ഹൈൻസ്-ഓട്ടോ പീറ്റ്‌ജെനും പീറ്റർ റിച്ചറും പ്രശസ്തരായി. ^{[7] [8]}

1985 ഓഗസ്റ്റിലെ സയൻ്റിഫിക് അമേരിക്കയുടെ പുറം ലേഖനത്തിൽ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള നി൪ദ്ധരണി അനേകം പ്രേക്ഷകർക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തി. പെയ്റ്റ്ഗൻ എറ്റ് ആൽ സൃഷ്‌ടിച്ച −0.909 -0.275 i എന്നതിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മാൻ്റെൽബ്രോട്ടിൻ്റെ ചിത്രം കവറിൽ അവതരിപ്പിച്ചു. ^[9] 1980-കളിൽ വ്യക്തിഗത കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉയർന്ന ഗുണമേന്മയിൽ ഗണത്തിൻ്റെ ചിത്രങ്ങൾ പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ തക്ക ശക്തിയുള്ളതായി മാറിയപ്പോൾ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം ഒരു പ്രമുഖ കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ് ഡെമോയായി മാറി . ^[10]

ഡൗഡിയുടെയും ഹബ്ബാർഡിൻ്റെയും പഠനങ്ങളും മിശ്രചലനാത്മകതയിലും അമൂർത്ത ഗണിതത്തിലും അത്യന്തം വർദ്ധിച്ചുവന്ന താൽപ്പര്യവും ഒത്തുചേരുന്ന അന്നുമുതൽ, മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ പഠനം ഈ മേഖലയുടെ കേന്ദ്രബിന്ദുവായി. അതിനുശേഷം ഈ ഗണത്തിനെ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായം നൽകിയ എല്ലാവരുടെയും ഒരു സമ്പൂർണ പട്ടിക വളരെ നീണ്ടതാണ്, എന്നാൽ അതിൽ ജീൻ-ക്രിസ്റ്റോഫ് യോക്കോസ്, മിത്സുഹിറോ ഷിഷികുറ , കർട്ട് മക്മുള്ളൻ, ജോൺ മിൽനോർ, മിഖായേൽ ല്യൂബിച്ച് എന്നിവരും ഉൾപ്പെടും.^{[11] [12]}

${\displaystyle {\displaystyle z_{n+1}={z_{n}}^{2}+c}}$ എന്ന ദ്വിഘാത രൂപാന്തരത്തിൻ്റെ ആവർത്തനത്തിൽ നിർണ്ണായക ബിന്ദുവായ z = 0-ൻ്റെ പഥം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മിശ്രപ്രതലത്തിലുള്ള (complex plane) c എന്ന മിശ്രസംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം.^[13]

അങ്ങനെ, z₀ 0 -ൽ നിന്നാരംഭിച്ച് ആവർത്തിച്ച് ആവർത്തനം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, z_n ൻ്റെ (ഇവിടെ n > 0) കേവലമൂല്യം ഒരു പരിധിക്കുള്ളിൽ തുടരുകയാണെങ്കിൽ, c എന്ന മിശ്രസംഖ്യ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിലെ ഒരംഗമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, c യിന്റ മൂല്യം 1 എന്നു കൊടുത്താൽ, 0, 1, 2, 5, 26, ... എന്ന ശ്രണി ലഭിക്കും. ഇത് അനന്തതയിലേക്ക് പോകുന്നതിനാൽ 1 എന്നത് മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തൻ്റെ ഒരു ഘടകമല്ല. മറുവശത്ത്, c യിന്റ മൂല്യം -1 എന്നു കൊടുത്താൽ 0, −1, 0, −1, 0, ..., എന്ന ശ്രണി ലഭിക്കും, 0 നും -1 നും ഇടയിൽ പരിമിതപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ −1 ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണ്.

ബഹുപദങ്ങളുടെ ഒരു കുടുംബത്തിന്റെ കണക്ട്നെസ് ലോക്കസ് ആയും മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തെ നിർവചിക്കാം.

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം ഒരു ഒതുക്കമുള്ള ഗണമാണ്, കാരണം അത് അടഞ്ഞിരിക്കുന്നതിനാൽ ആധാരബിന്ദുവിന് ചുറ്റും ആരം 2 ആയ വ്യത്തത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. കൂടുതൽ വ്യക്തമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഖ്യ ${\displaystyle c}$ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൽ പെടണമെങ്കിൽ ${\displaystyle |z_{n}|\leq 2}$ (ഇവിടെ ${\displaystyle n\geq 0}$ ). മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ${\displaystyle c}$ മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം ${\displaystyle M}$ -ലാകണമെങ്കിൽ ${\displaystyle z_{n}}$ ൻ്റെ കേവലമൂല്യം 2-ലോ അതിന് താഴെയോ ആയി നിലനിൽക്കണം. ആ കേവലമൂല്യം 2 കവിയുമ്പോൾ, ശ്രേണി അനന്തതയിലേക്ക് പോകും.

യഥാർത്ഥ അക്ഷത്തിൻ്റേയും ${\displaystyle M}$ ൻ്റേയും സംഗമം കൃത്യമായി [−2, 1/4] എന്ന ഇടവേളയാണ്. ഈ ഇടവേളയിലുള്ള ഘടകങ്ങളെ യഥാർത്ഥ ലോജിസ്റ്റിക് കുടുംബത്തിലെ ഘടകങ്ങളുമായി പരസ്പരസാദൃശ്യപ്പെടുത്താം.

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad r\in [1,4].}$

ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ഈ സാദൃശ്യം വെളിവാക്കുന്നു.

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right),\quad c={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right).}$

ഇത് ലോജിസ്റ്റിക് കുടുംബത്തിൻ്റെയും മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെയും മുഴുവൻ പാരാമീറ്റർ സ്ഥലങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള സാമ്യം പ്രകടമാക്കുന്നു.

ഡൗഡിയും ഹബ്ബാർഡും മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം യോചിച്ചുകിടക്കുന്നതായി തെളിയിച്ചു. മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണം വിയോചിച്ച്കിടക്കുന്നു എന്ന് ആദ്യം നിഗമിച്ചിരുന്നു. മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന നേർത്ത തന്തുക്കൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയാത്ത പ്രോഗ്രാമുകൾ സൃഷ്ടിച്ച കമ്പ്യൂട്ടർ ചിത്രങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയായിരുന്നു ഈ നിഗമനം. കൂടുതൽ പരീക്ഷണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, അദ്ദേഹം തൻ്റെ അനുമാനം തിരുത്തി, ${\displaystyle M}$ യോചിച്ചുകിടക്കുന്നതായിരിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിച്ചു. ഈ യോചിപ്പിന് 2001 -ൽ ജെറമി കാൻ കണ്ടെത്തിയ ടോപ്പോളജിക്കൽ തെളിവും നിലവിലുണ്ട്. ^[14]

ഡൗഡിൻ്റെയും ഹബ്ബാർഡിൻ്റെയും ${\displaystyle M}$ ൻ്റെ യോചിപ്പിൻ്റെ തെളിവിൽ നിന്ന് ഉയർന്നുവരുന്ന മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ പൂരകത്തിൻ്റെ ഏകീകൃത രൂപീകരണത്തിനുള്ള ചലനാത്മകമായ സൂത്രവാക്യം, മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ബാഹ്യ കിരണങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തെ കുറിച്ച് സഞ്ചയനശാസ്ത്രപരമായി പഠിക്കാനും യോക്കോസ് പാരാപസിലിൻ്റെ അടിത്തറ രൂപപ്പെടുത്താനും ഈ കിരണങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടും. ^[15]

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ അതിർത്തി കൃത്യമായി ദ്വിഘാതങ്ങളുടെ കുടുംബത്തിൻ്റെ വിഭജന സ്ഥാനമാണ്.

ബീജഗണിത വളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി സെറ്റായി ഇത് നിർമ്മിക്കാം, മണ്ടൽബ്രോട്ട് കർവുകൾ പോളിനോമിയൽ ലെംനിസ്കേറ്റുകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന പൊതു തരം. ${\displaystyle p_{0}=z,p_{n}+1=p_{n}^{2}+z}$ എന്ന് സജ്ജീകരിച്ച്, തുടർന്ന് പോയിന്റുകളുടെ സെറ്റ് വ്യാഖ്യാനിച്ചാണ് Mandelbrot കർവുകൾ നിർവചിക്കുന്നത് ${\displaystyle |p_{n}(z)|=2}$ എന്നിവയിൽ ഡിഗ്രി ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ന്റെ യഥാർത്ഥ കാർട്ടീഷ്യൻ തലത്തിൽ ഒരു വക്രമായി സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ. ഓരോ വക്രവും ${\displaystyle n>0}$ എന്നത് ${\displaystyle p_{n}}$ ന് കീഴിലുള്ള ആരം 2 ന്റെ പ്രാരംഭ വൃത്തത്തിന്റെ മാപ്പിംഗ് ആണ്. ഈ ബീജഗണിത കർവുകൾ താഴെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന "എസ്‌കേപ്പ് ടൈം അൽഗോരിതം" ഉപയോഗിച്ച് കമ്പ്യൂട്ട് ചെയ്ത മണ്ടൽബ്രോട്ട് സെറ്റിന്റെ ചിത്രങ്ങളിൽ ദൃശ്യമാകുന്നു.

മുഖ്യ ഹൃദയാഭവും ആവർത്തനാങ്ക ഗോളങ്ങളും

മാൻ്റെൽബ്രോട്ട് ഗണത്തിൻ്റെ ചിത്രം നോക്കുമ്പോൾ ഒരാൾ പെട്ടെന്ന് മധ്യഭാഗത്തെ വലിയ ഹൃദയാഭത്തിൻ്റെ ആകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശത്തേക്ക് ശ്രദ്ധിക്കുന്നു . ഈ പ്രധാന കാർഡിയോയിഡ് പരാമീറ്ററുകളുടെ മേഖലയാണ് ${\displaystyle c}$ അതിനായി ഭൂപടം