เซตม็องแดลโบรต

เซตมาตัดบรอถูกจัดอยู่ในหัวข้อพลศาสตร์เชิงซ้อน ซึ่งเป็นสาขาที่เริ่มศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ ฟาตู และ กาสตง จูเลีย ในช่วงต้นของศตวรรษที่ 20 โรเบิรต์ บรูค และ ปีเตอร์ มาเทลสกี เป็นผู้วาดรูปเซตนี้เป็นครั้งแรกในการศึกษากรุปไคลน์ในปี ค.ศ. 1978

เซตม็องแดลโบรต ${\displaystyle M}$ นิยามโดยควาดราติกโพลิโนเมียลเชิงซ้อน

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

ที่กำหนดโดย

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.\,}$

โดยที่ ${\displaystyle c}$ เป็นตัวเลขเชิงซ้อน สำหรับ ${\displaystyle c}$ แต่ละค่า พิจารณาพฤติกรรมของลำดับ ${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$ โดยการ วนซ้ำฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{c}(z)}$ เริ่มต้นที่ ${\displaystyle z=0}$ ซึ่งเป็นได้สองกรณีคืออาจมีค่าสู่อนันต์ หรือ มีค่าจำกัดภายในวงกลมรัศมีหนึ่ง ๆ เซตม็องแดลโบรต คือเซตของจุด ${\displaystyle c}$ ทุกจุดที่ไม่เข้าสู่อนันต์

นิยามอย่างเป็นทางการหนึ่งคือ ถ้า ${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$ คือไอเทอเรทที่ n ของฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{c}(z)}$ (หมายถึงคอมโพสิทฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{c}(z)}$ ของตัวมันเอง n ครั้ง) เซตม็องแดลโบรตเป็นซับเซตของระนาบเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle M=\left\{c\in \mathbb {C} :\sup _{n\in \mathbb {N} }|f_{c}^{n}(0)|<\infty \right\}.}$

ในทางคณิตศาสตร์ เซตม็องแดลโบรตเป็นเพียงเซตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวน ${\displaystyle c}$ จะอยู่ในเซต ${\displaystyle M}$ หรือไม่อยู่อย่างใดอย่างหนึ่ง ภาพของเซตม็องแดลโบรตสามารถสร้างได้โดยกำหนด ${\displaystyle c}$ ที่อยู่ใน ${\displaystyle M}$ ให้เป็นสีดำ นอกนั้นเป็นสีขาว ภาพที่มีสีสันสวยงามขึ้นที่พบเห็นบ่อย ๆ สร้างโดยการกำหนดสีต่าง ๆ แทนอัตราเร็วที่จุดมีค่าเข้าสู่อนันต์

• เซตจูเลีย