Сигма-функция (теория на числата)

• За всяко просто число ${\displaystyle p\,}$ :

${\displaystyle \sigma _{x}(p)=p^{x}+1\,}$

${\displaystyle \sigma _{x}(p^{\alpha })={\frac {p^{(\alpha +1)x}-1}{p^{x}-1}}=\sum _{i=0}^{\alpha }p^{ix}}$

• За съставно ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\alpha _{i}}}$ :

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{m}\sigma (p_{i}^{\alpha _{i}x})=\prod _{i=1}^{m}{\frac {p^{(\alpha _{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}=\prod _{i=1}^{m}\sum _{k=0}^{\alpha _{i}}p_{i}^{kx}}$

Таблица на стойностите за n<100

${\displaystyle \sigma (n)}$	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	3	4	7	6	12	8	15	13
1+	18	12	28	14	24	24	31	18	39	20
2+	42	32	36	24	60	31	42	40	56	30
3+	72	32	63	48	54	48	91	38	60	56
4+	90	42	96	44	84	78	72	48	124	57
5+	93	72	98	54	120	72	120	80	90	60
6+	168	62	96	104	127	84	144	68	126	96
7+	144	72	195	74	114	124	140	96	168	80
8+	186	121	126	84	224	108	132	120	180	90
9+	234	112	168	128	144	120	252	98	171	156

Алгебрични свойства

В пръстена на аритметичните функции σ-функцията е елемент от подгрупата на мултипликативните функции, като ^[2]: ${\displaystyle \sigma _{x}=\iota _{0}*\iota _{x}.\,}$ Инверсните елементи на σ_x-функциите в тази група са функциите^[3]:

${\displaystyle \left(\sigma _{x}^{-1}\right)(p^{k})={\begin{cases}1{\text{,}}&k=0\\-1-p^{x}{\text{,}}&k=1\\p^{x}{\text{,}}&k=2\\0{\text{,}}&k>2\end{cases}}}$

Може да се покаже^[3], че ${\displaystyle \sigma _{x}^{-1}=(\iota _{x}\mu )*\mu \,}$ , a в частния случай ${\displaystyle x=0}$ : ${\displaystyle \sigma _{0}^{-1}=\mu ^{2}\,}$ , както и^[2]: ${\displaystyle \sigma _{-x}=\iota _{-x}\sigma _{x}.\,}$

Редове на Дирихле

• Следствие от зависимостта ${\displaystyle \sigma _{x}=\iota _{0}*\iota _{x}\,}$ е тъждеството за представяне на реда на Дирихле:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{x}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot \zeta (s-x)}$

• За комплексни ${\displaystyle z}$ такива, че реалните части на ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle z-x}$ , ^[4]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{x}(n)\sigma _{y}(n)}{n^{z}}}={\frac {\zeta (z)\zeta (z-x)\zeta (z-y)\zeta (z-x-y)}{\zeta (2z-x-y)}}}$

Осреднена стойност на σ-функциите

За осреднената стойност на σ_x-функциите са доказани (за s>1) приблизителните оценки^[5],[6],[7]:

${\displaystyle \sum _{n\leq s}\sigma _{x}(n)={\begin{cases}{\frac {\pi ^{2}}{12}}s^{2}+O(s\ln s){\text{,}}&x=1\\{\frac {\zeta (x+1)}{x+1}}s^{x+1}+O\left(s^{\max\{1,x\}}\right){\text{,}}&x>0,\ x\neq 1\\{\frac {\pi ^{2}}{6}}s+O(\ln s){\text{,}}&x=-1\\\zeta (1-x)s+O\left(s^{\max\{0,1+x\}}\right){\text{,}}&x<0,\ x\neq -1\end{cases}}}$

${\displaystyle }$

Други осреднени стойности

• Нека ${\displaystyle m}$ е цяло число по-голямо от единица, а ${\displaystyle f_{m}(s)}$ да са дефинирани както следва:

${\displaystyle f_{m}(s)={\frac {1}{s^{m}}}\left(\sum _{n\leq s}\sigma _{m}(n)-{\frac {s^{m+1}}{k+1}}\zeta (m+1)\right).}$

В сила е:^[8]

${\displaystyle \limsup _{s\rightarrow \infty }f_{m}(s)={\frac {1}{2}}\zeta (m)}$

${\displaystyle \liminf _{s\rightarrow \infty }f_{m}(s)=-{\frac {1}{2}}\zeta (m)}$

• Може да се покаже, че:^[9],^,[10]

${\displaystyle \sum _{n\leq s}\sigma _{-1}(n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}s-{\frac {1}{2}}\ln s+O(\ln ^{2/3}s)}$

• Нека ${\displaystyle x>0}$ . Доказани са^{[11],[12],[13]}:

${\displaystyle \sum _{n\leq s}\sigma _{x}^{2}(n)={\frac {\zeta (2x+1)\zeta ^{2}(x+1)}{(2x+1)\zeta (2x+2)}}s^{2x+1}+{\begin{cases}O(s^{2x}){\text{,}}&x>1\\O(s^{2}\ln ^{5/3}s){\text{,}}&x=1\\O(s^{3/2}\ln ^{2}s){\text{,}}&x={\frac {1}{2}}\\O(s^{x+1}\ln s){\text{,}}&x<1,\ x\neq {\frac {1}{2}}\end{cases}}}$

• За полиноми ${\displaystyle f(n)}$ с цели коефициенти и ${\displaystyle x\in [-1;0)}$ е в сила:^[14],[15]

${\displaystyle \sum _{n\leq s \atop f(n)\neq 0}\sigma _{x}(f(n))=c_{f}(x)s+O(s^{1+x}\ln ^{C}s)}$

Тук ${\displaystyle C}$ е константа, а

${\displaystyle c_{f}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{{k|f(n)} \atop {0<n\leq k}}k^{x-1}.}$

• За ${\displaystyle 0<x<1}$ :^[16]

${\displaystyle \sum _{m,n\leq s}\sigma _{x}(n^{2}+m^{2})=s^{2+2x}\cdot \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(t^{2}+u^{2})^{x}\mathrm {d} t\mathrm {d} u+O(s^{2+x}\ln s)}$

Неравенства

Оценки на σ(n)

• За всяко ${\displaystyle n}$ различно от 1,2,3,4,6 и 8 е изпълнено (неравенство на Анапурна)^,[17],[18]:

${\displaystyle \sigma (n)<{\frac {6}{\pi ^{2}}}\cdot n^{\frac {3}{2}}}$

• За всяко съставно ${\displaystyle n}$ (неравенство на Серпински)^{[19],[18],[20]}:

${\displaystyle \sigma (n)>n+n^{\frac {1}{2}}}$

• За всяко ${\displaystyle n>30}$ e в сила:

${\displaystyle \sigma ^{\perp }(n)<{\frac {28}{15}}\cdot n\ln \ln n.}$ ^[21]

Оценки σ(n)/n

• Неравенство на Сатианараиана^{[19],[22],[23]}:

${\displaystyle \sigma _{-1}(n)<2^{1-(n{\bmod {2}})}\left({\frac {3}{2}}\right)^{\omega (n)}}$

където ${\displaystyle \omega (n)}$ представлява броят на различните прости делители на ${\displaystyle n}$ .^[24]

Връзка между σ(n) и 4φ(n)

• Нека ${\displaystyle n}$ e четно и ${\displaystyle 4\varphi (n)=\sigma (n)}$ . Тогава^[25]:

${\displaystyle 4n\leq \sigma (2n)}$

• Нека ${\displaystyle n}$ e нечетно и ${\displaystyle \varphi (n)\leq \sigma (n)}$ . Тогава^[25]:

${\displaystyle 4n<\sigma (2n)\,}$

• Нека с ${\displaystyle P(n)}$ е означен най-големият прост делител на ${\displaystyle n}$ . В сила е:^[26]

${\displaystyle \sigma (n)\leq 4^{(n{\bmod {2}})}\varphi (n)P(n)}$

Други неравенства

• За всеки две цели числа ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ по-големи от единица:^[27]

${\displaystyle \sigma (mn)>\sigma (n)+\sigma (m)\,}$

• За всяко съставно ${\displaystyle n}$ :^[28]

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{\Omega (n)}}\leq n,}$

където ${\displaystyle \Omega (n)}$ е броят на простите делители на ${\displaystyle n}$ .^[24]

• Неравенство на Лангфорд^[19],[29]:

${\displaystyle \sigma (n)\leq {\frac {1}{2}}(n+1)\sigma _{0}(n)}$

като равенството е изпълнено тогава и само тогава когато ${\displaystyle n}$ e просто число.

• За всеки две естесвени ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ (неравенство на Сиварамакришнан-Венкатараман)^[19]:

${\displaystyle \sigma _{m}(n)\geq n^{\frac {m}{2}}\cdot \sigma _{0}(n)}$

• Може да се докаже и следното неравенство:

${\displaystyle \sum _{n\leq s}\sigma _{-1}^{2}(n)\leq s\cdot \zeta ^{2}\left({\frac {3}{2}}\right)}$ ^[30],[31]

Други свойства

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}\sigma (n)=\sum _{n=1}^{m}n\cdot \left[{\frac {m}{n}}\right]}$ ^[30]
• ${\displaystyle n\sigma (n)\equiv 2\ {\bmod {\ \varphi (n)}}\Rightarrow n\in \{4,\ 6,\ 22\}\cup \{p:p\ \mathrm {prime} \}}$ ^[32]
• ${\displaystyle Card(\{m:m\leq n;\ \sigma (m)\equiv a({\bmod {m}})\})=O\left({\frac {n}{\ln n}}\right)}$ ^[33]
• Функцията

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(\lambda )=\lim _{s\rightarrow \infty }{\frac {1}{s}}\cdot Card(\{n:\lambda \leq \sigma _{-1}(n);\ n\leq s\})}$

е дефинирана и непрекъсната във всяка реална точка λ.^[34]

σ-функцията, както и останалите мултипликативни аритметични функции (по-сп. τ-, φ-, μ-, ψ-, а също така немултипликативните Λ-, Ω- и ω- функции), са от повече от век обект на интензивни изследвания поради връзката им (чрез редовете на Дирихле) с ζ-функцията и поради свързаните с евентуални нови резултати около тях надежди за решаване на шестия „проблем на хилядолетието“ (доказателство на хипотезата на Риман) или за поне частични успехи по други все още незадоволително решени въпроси от теорията на числата.

През 1915 Ингам дава елегантно доказателство за липсата на нули на ζ-функцията по оста ${\displaystyle Re[z]=1}$ използвайки формулата на Рамануджан и по-специално частния ѝ случай:^[35]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}^{2}(n)}{n^{z}}}={\frac {\zeta ^{4}(z)}{\zeta (2z)}}.}$

Значението на изследването на σ-функцията показва доказаната от Робин зависимост: хипотезата на Риман е вярна тогава и само тогава, когато неравенството

${\displaystyle (\#)\qquad f(n)={\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}<e^{\gamma },\,}$

е вярно за всяко ${\displaystyle n>5040}$ , където ${\displaystyle \gamma =0.5772...}$ е константата на Ойлер – Маскерони. Най-дорият известен резултат в тази посока е на Ердьош (1989):^[36]

${\displaystyle f(n)<e^{\gamma }-{\frac {2{\sqrt {2}}-2-\gamma +\ln(4\pi )}{\ln ^{\frac {1}{2}}n\cdot \ln \ln n}}+O(\ln ^{-{\frac {1}{2}}}n\cdot \ln ^{-2}\ln n).}$

Появата на константата ${\displaystyle e^{\gamma }}$ в тези неравенства не е случайна. Още през 1913 е доказано, че

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }f(n)=e^{\gamma }.\,}$

тоест, че дадената в неравенството (#) горна граница за ${\displaystyle f(n)}$ не може да бъде подобрена (теорема на Грьонвал (Гронуол)).

Еквивалентно с верността на хипотезата на Риман е и неравенството^[37]

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\cdot \ln H_{n},}$

където ${\displaystyle \{H\}_{n}}$ е редицата на хармоничните числа. Хипотезата на Оре дава връзка между σ-функцията и друг костелив проблем от теория на числа: въпроса за съществуването на нечетни съвършени числа.

Интересни приложения на σ-функцията в адитивната теория на числата показва теоремата на Якоби (броят на различните представяния на ${\displaystyle n}$ като сума от четири квадрата е равен на ${\displaystyle 8\sigma (n)-32\sigma (n/4)}$ за ${\displaystyle n}$ кратно на четири и на ${\displaystyle 8\sigma (n)}$ в противен случай^[3],[19]). Теоремата на Якоби и асимптотичната оценка за средната стойност на σ_x-функциите позволяват да се изследват проблеми от геометричната теория на числата. С тяхна помощ може например да се покаже, че броят на точки с цели координати в ${\displaystyle n-}$ мерно кълбо с радиус ${\displaystyle r}$ e равен (за ${\displaystyle n>3}$ ) на ${\displaystyle V(r)r^{n/2}+O(r^{(r-1)/2}\ln r)}$ , където с ${\displaystyle V(r)}$ е означен обема на кълбото^[19].

σ-функцията може да се обобщи и за гаусовите цели числа като:

${\displaystyle \sigma (z)=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\pi ^{\alpha _{i}+1}-1}{\pi _{i}-1}}}$

където ${\displaystyle \{\pi _{i}\}_{i=1,...,N}\,}$ са прости делители на ${\displaystyle z}$ , такива, че ${\displaystyle \operatorname {Re} [\pi _{i}]>0}$ , ${\displaystyle \operatorname {Im} [\pi _{i}]\geq 0}$ за всяко ${\displaystyle i=1,...,N\,}$ и

${\displaystyle z=\varepsilon \prod _{i=1}^{k}\pi ^{\alpha _{i}}}$

за някой единичен елемент ${\displaystyle \varepsilon .\,}$ ^[38],[18]

• Divisor Function, Wolfram MathWorld
• Robins Theorem, Wolfram MathWorld
• Ore's Conjecture, Wolfram MathWorld
• Gronwall's Theorem, Wolfram MathWorld