Orbitalni period

Kopernik je izveo matematičku formulu da bi izračunao siderički period planete iz njenog sinodičkog perioda.

Skraćenice:

E = siderički period Zemlje (siderička godina, nije ista tropskoj godini),

P = siderički period druge planete,

S = sinodički period druge planete (gledano sa Zemlje).

Tokom vremena S, Zemlja se pomjera za ugao od (360°/E)S (pretpostavljajući kružnu orbitu), a planeta se pomjera za ugao od (360°/P)S.

Razmotrimo slučaj inferiorne planete, tj. planete koja će napraviti jednu više orbitu od Zemlje prije nego što se vrate u isti položaj u odnosu na Sunce.

${\displaystyle {\frac {S}{P}}360^{\circ }={\frac {S}{E}}360^{\circ }+360^{\circ }}$

i korištenjem algebre dobijamo

${\displaystyle P={\frac {1}{{\frac {1}{E}}+{\frac {1}{S}}}}}$

Za superiornu planetu izvodi se slično:

${\displaystyle P={\frac {1}{{\frac {1}{E}}-{\frac {1}{S}}}}}$

Uoipšteno, poznavajući siderički period druge planete i Zemlje, P i E, sinodički period se lako izvodi:

${\displaystyle S={\frac {1}{\left|{\frac {1}{E}}-{\frac {1}{P}}\right|}},}$

što vrijedi i za inferiorne i za superiorne planete.

Prethodne formule su lako shvatljive ako se razmatraju ugaone brzine Zemlje i objekta: prividna ugaona brzina objekta je njena prava (siderička) ugaona brzina minus Zemljina, a sinodički period je onda puni krug podijeljen sa tom prividnom ugaonom brzinom.

Tabela sinodičkih perioda u Sunčevom sistemu, relativno Zemlji:

	Sid. p. (a)	Sin. p. (a)	Sin. p. (d)
Merkur	0,241	0,317	115,9
Venera	0,615	1,599	583,9
Zemlja	1	—	—
Mjesec	0,0748	0,0809	29,5306
Mars	1,881	2,135	780,0
4 Vesta	3,629	1,380	504,0
1 Ceres	4,600	1,278	466,7
10 Hygiea	5,557	1,219	445,4
Jupiter	11,87	1,092	398,9
Saturn	29,45	1,035	378,1
Uran	84,07	1,012	369,7
Neptun	164,9	1,006	367,5
134340 Pluton	248,1	1,004	366,7
136199 Eris	557	1,002	365,9
90377 Sedna	12050	1,00001	365,1

U slučaju mjeseca planete, sinodički period obično označava Sunčev sinodički period. Dakle, to je vrijeme za koje mjesec kompletira svoje faze osvjetljenja, što se kosi sa solarnim fazama za osmatrača na površini planete — Zemljina rotacija ne određuje ovu vrijednost za ostale planete, jer osmatrača sa Zemlje ne orbituju upitni sateliti. Na primjer, Deimosov sinodički period iznosi 1,2648 dana, 0,18% više od Deimosovog sideričkog perioda od 1,2624 d.

Malo tijelo koje orbituje centralno tijelo

U astrodinamici orbitalni period ${\displaystyle T\,}$ malog tijela koje orbituje centralno tijelo kružnom ili eliptičnom orbitom iznosi:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}$

gdje je:

• ${\displaystyle a\,}$ dužina orbitine velike poluose,
• ${\displaystyle \mu =GM\,}$ standardni gravitacioni parametar,
• ${\displaystyle G\,}$ gravitaciona konstanta,
• ${\displaystyle M\,}$ masa centralnog tijela.

Vidi se da je za sve elipse sa datom poluosom orbitalni period isti, bez obzira na ekscentričnost.

Orbitalni period kao funkcija gustoće centralnog tijela

Za Zemlju (ili bilo koje drugo sferno simetrično trijelo sa istom prosječnom gustoćom) kao centralno tijelo imamo

${\displaystyle T=1.4{\sqrt {(a/R)^{3}}}}$

a za vodeno tijelo

${\displaystyle T=3.3{\sqrt {(a/R)^{3}}}}$

T u satima, R je prečnik tijela.

Po tome, kao alternativa korištenju veoma malog broja poput broja G, snaga univerzalne gravitacije se može opisati korištenjem referentnog materijala, poput vode: orbitalni period orbite malo iznad površine sfernog vodenog tijela je 3 sata i 18 minuta. Ovo se može iskoristiti kao "univerzalna" jedinica vremena.

Za Sunce kao centralno tijelo, imamo

${\displaystyle T={\sqrt {a^{3}}}}$

T u godinama, a u astronomskim jedinicama. Ovo je identično Trećem Keplerovom zakonu.

Dva tijela koja orbituju jedno drugo

U nebeskoj mehanici, kada se u obzir moraju uzeti mase oba orbitujuća tijela, orbitalni period ${\displaystyle P\,}$ se može izračunati na sljedeći način:

${\displaystyle P=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}}}}$

gdje je:

• ${\displaystyle a\,}$ suma velikih poluosa elipsa po kojima se pomjeraju centralne tačke tijela,
• ${\displaystyle M_{1}\,}$ i ${\displaystyle M_{2}\,}$ mase tijela,
• ${\displaystyle G\,}$ gravitaciona konstanta.

Vidi se da je orbitalni period nezavisan od veličine: za umanjeni model bi bilo isto, ako su gustoće iste (također pogledajte Orbita#Skaliranje u gravitaciji.

U paraboličnoj ili hiperboličnoj putanji kretanje nije periodično, i trajanje cijele putanje je beskonačno.

• Izvod geosinhronizovane orbite
• Sideričko vrijeme
• Siderička godina
• Opozicija (astronomija)