Cercle màxim

Per demostrar que l'arc menor d'un gran cercle és el camí més curt que connecta dos punts de la superfície de l'esfera, es pot aplicar el càlcul de variacions.^{[7][8][9][10]}

Considereu la classe de tots els camins regulars des d'un punt ${\displaystyle p}$ al segon punt ${\displaystyle q}$ . Es poden introduir coordenades esfèriques de manera que ${\displaystyle p}$ coincideix amb el pol nord. Qualsevol corba de l'esfera que no talli cap pol, excepte potser als extrems, es pot parametritzar mitjançant

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

sempre que es permeti ${\displaystyle \phi }$ pren valors reals arbitraris. La longitud de l'arc infinitesimal en aquestes coordenades és

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Per tant, la longitud de la corba ${\displaystyle \gamma }$ des del ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$ és la corba funcional donada per

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Segons l'equació d'Euler-Lagrange,^[11][12] ${\displaystyle S[\gamma ]}$ es minimitza si i només si

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$ ,

on és ${\displaystyle C}$ constant independent de ${\displaystyle t}$ , i

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

Integrant ambdues parts i tenint en compte la condició de límit, una solució realista per ${\displaystyle C}$ és zero. Tan, ${\displaystyle \phi '=0}$ i ${\displaystyle \theta }$ pot ser qualsevol valor entre 0 i ${\displaystyle \theta _{0}}$ , que vol dir que la corba ha de situar-se al meridià de l'esfera. En coordenades cartesianes això és

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$ .

Integrant ambdues parts i tenint en compte la condició de límit, una solució realista per ${\displaystyle C}$ és zero. Tan, ${\displaystyle \phi '=0}$ i ${\displaystyle \theta }$ pot ser qualsevol valor entre 0 i ${\displaystyle \theta _{0}}$ , que vol dir que la corba ha de situar-se al meridià de l'esfera. En coordenades cartesianes això és

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

que és un pla que passa per l'origen de coordenades, és a dir el centre de l'esfera.

Alguns exemples de grans cercles a l'esfera celeste inclouen l'horitzó celeste,^[13][14] l'equador celeste,^[15][16] i l'eclíptica.^[17][18] Els grans cercles també s'utilitzen com a aproximacions força precises de geodèsics a la superfície de la Terra per a la navegació aèria o marítima (encara que no és una esfera perfecta), així com per als cossos celestes esferoïdals.

L'equador de la terra idealitzada és un gran cercle i cada meridià i el seu meridià oposat formen un gran cercle.^[19] Un altre gran cercle és el que divideix els hemisferis terrestre i aquàtic. El gran cercle divideix la terra en dos hemisferis i si el gran cercle passa per un punt ha de passar pel punt antípoda.

La transformada de Fank integra la funció al llarg de tots els grans cercles de l'esfera.^[20][21][22]

• Trigonometria esfèrica
• Loxodrom