মহাবৃত্ত

গোলক পৃষ্ঠের দুটি বিন্দুর ক্ষুদ্রতম বৃত্তচাপই যে গোলীয় তল বরাবর উক্ত বিন্দুদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম দূরত্ব তা পরিবর্তনী ক্যালকুলাসের সাহায্যে প্রমাণ করা যায়।

${\displaystyle p}$ বিন্দু থেকে ${\displaystyle q}$ বিন্দুর দিকে সকল নিয়মিত পথ বিবেচনা করা যাক। গোলকীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ${\displaystyle p}$ বিন্দুকে উত্তর মেরুতে বিবেচনা করা যাক। প্রান্তবিন্দু ব্যতীত কোন মেরুকে ছেদ করে না এমন বক্র রেখার পরামিতি হবে নিম্নরূপ:—

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

এখানে ${\displaystyle \phi }$ হল যে কোন বাস্তব সংখ্যা। এই (গোলীয়) স্থানাঙ্কে ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র বৃত্তচাপ দৈর্ঘ্য হবে:

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

সুতরাং ${\displaystyle p}$ থেকে ${\displaystyle q}$ বিন্দুতে ${\displaystyle \gamma }$ বক্ররেখাটির দৈর্ঘ্য নিম্নোক্ত বক্ররেখার ফাংশনাল হবে:

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

${\displaystyle S[\gamma ]}$ কে দূর করা যাবে, অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ অনুসারে যদি এবং কেবল যদি ${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$ হয়, যেখানে ${\displaystyle C}$ হল একটি ${\displaystyle t}$ -অনির্ভর ধ্রুবক, এবং

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

উক্ত সমীকরণদ্বয়ের প্রথমটি থেকে পাই—

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$ .

নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে উভয় পক্ষকে সমাকলন করলে ${\displaystyle C}$ এর বাস্তব সমাধান হবে শূন্য। একইভাবে, বক্ররেখাটিকে গোলকের একটি দ্রাঘিমা রেখা বরাবর নির্দেশ করা হলে ${\displaystyle \phi '=0}$ হবে এবং ${\displaystyle \theta }$ এর মান ${\displaystyle 0}$ ও ${\displaystyle \theta _{0}}$ এর মধ্যে থাকবে। কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে এটা হবে:

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

যা উৎসগামী (যেমন— গোলকের কেন্দ্র) একটি সমতল নির্দেশ করে।

খ-গোলকে উল্লেখযোগ্য কয়েকটি মহবৃত্ত হল: নিরক্ষরেখা, ভৌগোলিক নিরক্ষরেখা, ভৌগোলিক দিগন্ত, সূর্যপথ^[২], চৌম্বক নিরক্ষরেখা, তাপীয় নিরক্ষরেখা (২১শে মার্চ ও ২৩শে সেপ্টেম্বর)। এছাড়া যে কোন দ্রাঘিমা রেখা এবং এর বিপরীত দ্রাঘিমা রেখাও মহাবৃত্ত গঠন করে। যেমন মূল মধ্যরেখা বা 0° দ্রাঘিমা রেখা এবং 180° দ্রাঘিমা রেখা একটি মহাবৃত্ত তৈরি করে। অনুরূপভাবে, 125° পূর্ব এবং 55° পশ্চিম দ্রাঘিমা রেখার সমন্বয়ে কল্পিত বৃত্তও একটি মহাবৃত্ত।

যেহেতু গোলীয় পৃষ্ঠের যে কোন দুটি বিন্দুগামী ক্ষুদ্রতম চাপ গোলীয় পৃষ্ঠ বরাবর ঐ বিন্দুদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম দূরত্বকে নির্দেশ করে এবং যেহেতু এই ক্ষুদ্রতম চাপ (জিওডেসিক) আদতে মহাবৃত্তের অংশবিশেষ তাই পৃথিবী (যদিও পৃথিবী প্রকৃত গোলাকার নয়) এবং অন্যান্য গোলীয় জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক বস্তুর পৃষ্ঠতলের দুটি অবস্থানের নেভিগেশনে বিশেষতঃ আকাশ পথ ও জলপথের দিক নির্দেশনার ক্ষেত্রে এর প্রয়োগ গুরুত্বপূর্ণ। মহাবৃত্ত বরাবর দূরত্ব সর্বাপেক্ষা কম দূরত্ব হওয়ায় জাহাজ ও বিমানগুলোর চলার পথকে যথাসম্ভব মহাবৃত্তীয় রাখার চেষ্টা করা হয়। কারণ এতে যেমন জ্বালানি সাশ্রয় হয় তেমনি সময়ের ব্যবধানও কমে।

• Great Circle – from MathWorld Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Great Circles on Mercator's Chart by John Snyder with additional contributions by Jeff Bryant, Pratik Desai, and Carl Woll, Wolfram Demonstrations Project.
• "Why Are Great Circles the Shortest Flight Path?"