Normalna porazdelitev

Normalna porazdelitev (tudi Gaussova porazdelitev) je verjetnostna porazdelitev vrednosti statističnih enot v statistični populaciji, ki je v grafični predstavitvi oblikovana v obliki zvona oziroma normalne krivulje. Vanjo sodi družina porazdelitev, ki imajo različne parametre (npr. aritmetično sredino in standardni odklon), a oblikujejo enake grafe porazdelitve. Standardna normalna porazdelitev je porazdelitev vrednosti s povprečjem (aritmetično sredino) 0 in standardnim odklonom 1.

Normalna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za normalno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za normalno porazdelitev.
oznaka	${\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})$
parametri	$\mu \epsilon {\boldsymbol {R}}\!$ — pričakovana vrednost (parameter lokacije) $\sigma ^{2}\!$ —varianca (kvadrat parametra merila)
interval	$x\epsilon {\boldsymbol {R}}\!$ , če je $\sigma ^{2}>0\!$ $x={\boldsymbol {\mu }}\!$ , če je $\sigma ^{2}=0\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \!\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\frac {1}{2}}{\Big [}1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}{\Big )}{\Big ]}$
pričakovana vrednost	$\mu \!$
mediana	$\mu \!$
modus	$\mu \!$
varianca	$\sigma ^{2}\!$
simetrija	$0\!$
sploščenost	$0\!$
entropija	$\ln \!{\sqrt {2\pi e\,\sigma ^{2}}}$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$\exp \!{\Big (}\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}{\Big )}$
karakteristična funkcija	$\exp \!{\Big (}i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}{\Big )}$

Normalna porazdelitev je izrednega pomena za kvantitativne metode različnih znanosti, saj ji sledi množica pojavov; po normalni krivulji se tako porazdeljuje človekova višina in masa, stopnja IQ idr. Predpostavljanje normalne porazdelitve je bistveno za množico statističnih izračunov, saj velja, da se vzorec, ki je izvzet iz celotne populacije, porazdeljuje približno po normalni krivulji tudi, če vrednosti vseh enot matične populacije niso porazdeljene normalno.

Zgodovina

O normalni porazdelitvi je prvi razpravljal francoski matematik de Moivre leta 1733, teorijo pa je dalje razvil Laplace leta 1812. Danes se po dveh znanstvenikih imenuje de Moivre-Laplaceov izrek.

De Laplace je teorijo normalne porazdelitve uporabljal za preučevanje napak v poskusih. Za nadaljnji razvoj je bila pomembna metoda najmanjših kvadratov, ki jo je uvedel Legendre leta 1805. Gauss pa si je nauk o normalni porazdelitvi lastil že od leta 1794 in ga utemeljil leta 1809 z razpravo o normalni porazdelitvi napak.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za normalno porazdelitev je

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

{\frac {1}{2}}{\Big [}1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}{\Big )}{\Big ]}

kjer je

$\operatorname {erf} (x)\!$ funkcija napake.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

\mu \!

.

Varianca

Varianca je enaka

\sigma ^{2}\!

.

Sploščenost

Sploščenost je

0\!

.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

0\!

.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

\exp \!{\Big (}\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}{\Big )}

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

\exp \!{\Big (}i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}{\Big )}

.

Kumulante

Red momenta	Moment	Centralni moment	Kumulanta
1	$\scriptstyle \mu$	0	$\scriptstyle \mu$
2	$\scriptstyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}$	$\scriptstyle \sigma ^{2}$	$\scriptstyle \sigma ^{2}$
3	$\scriptstyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}$	0	0
4	$\scriptstyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}$	$\scriptstyle 3\sigma ^{4}$	0
5	$\scriptstyle \mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}$	0	0
6	$\scriptstyle \mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}$	$\scriptstyle 15\sigma ^{6}$	0
7	$\scriptstyle \mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}$	0	0
8	$\scriptstyle \mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}$	$\scriptstyle 105\sigma ^{8}$	0