Normálne rozdelenie

Normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami ${\displaystyle \mu }$ a ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ , pre ${\displaystyle -\infty <\mu <\infty }$ a ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ , je pre ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ definované hustotou pravdepodobnosti v tvare

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{(x-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ .

Normálne rozdelenie sa väčšinou značí ${\displaystyle \operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ . Rozdelenie ${\displaystyle \operatorname {N} (0,1)}$ býva označované ako normované (alebo štandardizované) normálne rozdelenie. Normované normálne rozdelenie má teda hustotu pravdepodobnosti

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

Stredná hodnota normálneho rozdelenia je

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

Normálne rozdelenie má rozptyl

${\displaystyle \operatorname {D} (X)=\sigma ^{2}}$

Pre medián dostaneme

${\displaystyle x_{0,5}=\mu }$

Koeficienty šikmosti a špicatosti normálneho rozdelenia sú:

${\displaystyle \gamma _{1}=0}$

${\displaystyle \gamma _{2}=1}$

Momentovou vytvárajúcou funkciou normálneho rozdelenia možno zapísať v tvare

${\displaystyle m(z)=\mathrm {e} ^{z\mu +{\frac {z^{2}\sigma ^{2}}{2}}}}$

Pre prirodzené čísla ${\displaystyle k}$ možno momenty písať ako

${\displaystyle \mu _{2k-1}=0}$

${\displaystyle \mu _{2k}={\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}\sigma ^{2k}}$

Distribučná funkcia normálneho rozdelenia je

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {{(t-\mu )}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\;\mathrm {d} t}$

Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nemožno vyjádriť elementárnymi funkciami.

Keď máme ${\displaystyle s}$ -rozmerný náhodný vektor ${\displaystyle X}$ , ktorého združená hustota pravdepodobnosti má tvar

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{s})={\frac {1}{\sqrt {{(2\pi )}^{s}{\left|\mathbf {C} \right|}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } \right)}^{T}\mathbf {C} ^{-1}{\left(\mathbf {x} -\mathbf {\mu } \right)}}}$

pre ${\displaystyle -\infty <x_{i}<\infty }$ , ${\displaystyle i=1,2,...,s}$ , kde ${\displaystyle \mathbf {C} }$ je symetrická, pozitivne definitná matica a ${\displaystyle \mathbf {x} ={(x_{1},x_{2},...,x_{s})}^{T}}$ a ${\displaystyle \mathbf {\mu } ={(\mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{s})}^{T}}$ sú stĺpcové vektory. V takom prípadě hovoríme o ${\displaystyle s}$ -rozmernom normálnom rozdelení, ktoré predstavuje zovšeobecnenie normálneho rozdelenia pre viacrozmernú náhodnú veličinu.

Charakteristiky viacrozmerného rozdelenia

Momentovú vytvárajúcu funkciu možno vyjadriť ako

${\displaystyle m(z_{1},z_{2},...,z_{s})=\mathrm {e} ^{\left(\mathbf {z} ^{T}\mathbf {\mu } +{\frac {\mathbf {z} ^{T}\mathbf {C} \mathbf {z} }{2}}\right)}}$

Z predchádzajúceho vzťahu možno odvodiť, že ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ predstavuje vektor stredných hodnôt a ${\displaystyle \mathbf {C} }$ kovariančnú maticu.

Marginálne rozdelenie

Marginálnym rozdelením veličiny ${\displaystyle X_{i}}$ je jednorozmerné normálne rozdelenie ${\displaystyle \operatorname {N} (\mu _{i},\sigma _{i}^{2})}$ , marginálnym rozdelením veličín ${\displaystyle X_{i},X_{j}}$ pre ${\displaystyle i\neq j}$ je dvojrozmerné normálne rozdelenie, atď.

• Rozdelenie pravdepodobnosti

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Normální rozdělení na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).