Նորմալ բաշխում

Ստանդարտ նորմալ բաշխում

Նորմալ բաշխման ամենապարզ տարբերակը հայտնի է ստանդարտ նորմալ բաշխում անվամբ։ Սա այն մասնավոր դեպքն է, երբ ${\displaystyle \mu =0}$ , ${\displaystyle \sigma =1}$ և այն տրված է հավանականության խտություն հետևյալ ֆունկցիայով՝

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}{\text{։}}}$

Այս արտահայտության մեջ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ արտադրիչը ապահովում է, որ ամբողջ առանցքի նկատմամբ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ֆունկցիայի ինտեգրալը հավասար է մեկի^{[Ն 1]}։ Ցուցիչում ${\displaystyle 1/2}$ արտադրիչի առկայությունը ապահովում է միավոր դիսպերսիան և հետևաբար՝ ստանդարտ շեղումը։ Այս ֆունկցիան սիմետրիկ է ${\displaystyle x=0}$ կետի շուրջ, որտեղ է ստանում է իր առավելագույն արժեքը՝ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ , իսկ ${\displaystyle x=+1}$ և ${\displaystyle x=-1}$ կետերը ֆունկցիայի շրջման կետերն են։

Ստանդարտ նորմալ բաշխման սահմանման վերաբերյալ հակասություն կա։ Ըստ Կառլ Գաուսի սահմանման՝ ստանդարտ նորմալ բաշխումը ունի ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/2}$ դիսպերսիա, այսինքն՝

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$ ։

Իսկ ըստ Սթիվեն Սթիգլերի սահմանման^[6]՝ ստանդարտ նորմալ բաշխման դիսպերսիան հավասար է ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/(2\pi )}$ , այլ կերպ ասած՝

${\displaystyle \varphi (x)=e^{-\pi x^{2}}}$ ։

Ընդհանուր նորմալ բաշխում

Կամայական նորմալ բաշխում ստանդարտ նորմալ բաշխման ձևափոխված տարբերակ է, որի տիրույթ ձգվել է ${\displaystyle \sigma }$ անգամ (ստանդարտ շեղումը) և տեղափոխվել ${\displaystyle \mu }$ -ով (միջին արժեքը)՝

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

Հավանականության խտության ֆունկցիան պետք է բազմապատկվի ${\displaystyle 1/\sigma }$ -ով, որպեսզի ինտեգրալը 1 մնա։ Եթե ${\displaystyle Z}$ պատահական մեծություն ունի ստանդարտ նորմալ բաշխում, ապա ${\displaystyle X=\sigma Z+\mu }$ -ը կունենա ${\displaystyle \mu }$ մաթեմատիկական սպասմամբ և ${\displaystyle \sigma }$ ստանդարտ շեղմամբ նորմալ բաշխում։ Նմանապես, եթե ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ և ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ պարամետրերով պատահական մեծություն է, ապա ${\displaystyle Z=(X-\mu )/\sigma }$ -ը կլինի ստանդարտ նորմալ բաշխում։ Այս ձևափոխությունը կոչվում է ${\displaystyle X}$ -ի ստանդարտացում։

Նշանակում

Ստանդարտ նորմալ բաշխման հավանականության խտության ֆունկցիան հաճախ նշանակվում է հունարեն ${\displaystyle \phi }$ (Ֆի) տառով^[7]։ Հաճախ կիրառվում է այս տառի այլ տարբերակը՝ ${\displaystyle \varphi }$ -ն։

Նորմալ բաշխումը հաճախ նշանակվում է ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ կամ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ձևով^[8]։ Այսպիսով, եթե ${\displaystyle X}$ պատահական մեծությունը ${\displaystyle \mu }$ միջինով և ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ դիսպերսիայով նորմալ բաշխված է, ապա այն գրում են որպես՝

${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ։

Այլ պարամետրեր

Որոշ հեղինակներ բաշխման լայնությունը սահմանելու համար շեղման (${\displaystyle \sigma }$ ) կամ դիսպերսիայի (${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ) փոխարեն օգտագործում են դիսպերսիայի հակադարձը՝ ${\displaystyle \tau =1/\sigma ^{2}}$ -ն^[9]։ Այս դեպքում բաշխման բանաձևը դառնում է՝

${\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}}$ ։

Ըստ նրանց՝ այս ընտրությունը հաշվարկային առումով առավելություն ունի այն դեպքերում, երբ ${\displaystyle \sigma }$ -ն շատ մոտ է զրոյին և պարզեցնում է բանաձևերը որոշ դեպքերում, օրինակ՝ մի քանի փոփոխականով նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծությունների Բայեսյան հետևությունը։

Նաև կիրառվում է ստանդարտ շեղման հակադարձը՝ ${\displaystyle \tau ^{\prime }=1/\sigma }$ -ը, որի դեպքում խտության բանաձևը ստանում է հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle f(x)={\frac {\tau ^{\prime }}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ^{\prime })^{2}(x-\mu )^{2}/2}}$ ։

Ըստ Սթիգլերի՝ այս ներկայացման առավելություններն են պարզ ու հեշտ հիշելի տեսքը և բշխման quantile-ների համար մոտարկման պարզ բանաձևերի հնարավորություն է տալիս։

Նորմալ բաշխումները x և x² բնական վիճակագրությամբ ու ${\displaystyle \textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}}$ և ${\displaystyle \textstyle \theta _{2}={\frac {-1}{2\sigma ^{2}}}}$ բնական պարամետրերով ցուցչային ընտանիք են կազմում։

Բաշխման ֆունկցիա

Ստանդարտ նորմալ բաշխմամբ պատահական մեծության բաշխման ֆունկցիա սովորաբար նշանակվում է հունարեն մեծատառ ${\displaystyle \Phi }$ (Ֆի) տառով և հավասար է հետևյալ ինտեգրալին՝

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt}$

Կապված ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$ սխալի ֆունկցիան ցույց է տալիս հավանականությունը, որ 0 միջինով և 1/2 դիսպերսիայով պատահական մեծության արժեքը կընկնի ${\displaystyle [-x,x]}$ միջակայքում, այսինքն՝

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}$

Այս ինտեգրալները հնարավոր չէ ներկայացնել տարրական ֆունկցիաների միջոցով և սովորաբար կոչվում են հատուկ ֆունկցիաներ։ Սակայն, գոյություն ունեն բազմաթիվ թվային մոտարկումներ։

Այս երկու ֆունկցիաները սերտորեն կապված են, մասնավորապես՝

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

Ընդհանուր նորմալ բաշխաման համար, որն ունի ${\displaystyle f}$ խտության ֆունկցիա, ${\displaystyle \mu }$ միջին և ${\displaystyle \sigma }$ դիսպերսիա, բաշխման ֆունկցիան ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle F(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$

Ստանդարտ նորմալ բաշխման բաշխման ֆունկցիայի լրացումը՝ ${\displaystyle Q(x)=1-\Phi (x)}$ -ը, հաճախ կոչվում է Q-ֆունկցիա՝ հատկապես ինժեներական գրականության մեջ^[10][11]։ Այն ցույց է տալիս հավանականությունը, որ ${\displaystyle X}$ ստանդարտ նորմալ պատահական մեծության արժեքը կգերազանցի ${\displaystyle x}$ -ին, այսինքն՝ ${\displaystyle Q(x)=P(X>x)}$ ։ Երբեմն կիրառվում են ${\displaystyle Q}$ -ֆունկցիայի այլ սահմանումներ, որոնք բոլորը ${\displaystyle \Phi }$ ֆունկցիայի որևէ ձևափոխություն են^[12]։ Ստանդարտ նորմալի բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը ունի 2-րդ կարգի պտտման համաչափություն (0,1/2) կետի նկատմամբ, այսինքն՝ ${\displaystyle \Phi (-x)=1-\Phi (x)}$ ։ Բաշխման ֆունկցիայի նախնականը (անորոշ ինտեգրալը) ունի հետևյալ տեսքը՝

${\displaystyle \int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.}$

Մասերով ինտեգրման միջոցով նորմալ բաշխման բաշպման ֆունկցիան կարելի է արտահայտել շարքի տեսքով՝

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-x^{2}/2}\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}+\cdots \right]}$ ,

որտեղ ${\displaystyle !!}$ -ը կրկնակի ֆակտորիալի նշանն է։

Մեծ x-երի համար բաշխման ֆունկցիայի ասիմպտոտիկ վերլուծումը նույնպես հնարավոր է ստանալ մասերով ինտեգրման միջոցով^[13]։

Ստանդարտ շեղում

Նորմալ բաշխումից վերցված արժեքների մոտ 68 տոկոսը միջինից հեռու են մեկ ստանդարտ շեղումով` σ-ով, մոտ 95 տոկոսը՝ երկու ստանդարտ շեղումով և մոտ 99.7 տոկոսը՝ երեք ստանդարտ շեղումով։ Այս փաստը առավել հայտնի է երեք սիգմայի կանոն կամ 68-95-99.7 կանոն անվամբ։

Ընդհանուր դեպքում հավանականությունը, որ նորմալ բաշխմամբ պատահական մեծության արժեքը կընկնի ${\displaystyle \mu -n\sigma }$ և ${\displaystyle \mu +n\sigma }$ միջակայքերում տրվում է հետևյալ բանաձևով՝

${\displaystyle F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right)}$ ։

Հետևյալ աղբյուսակում տրված է ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,6}$ արժեքների դեպքում ստացվող արդյունքը (12 իմաստալից թվանշանների ճշտությամբ)^[14]՝

${\displaystyle n}$	${\displaystyle p=F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )}$	${\displaystyle {\text{i.e. }}1-p}$	${\displaystyle {\text{or }}1{\text{ in }}p}$	OEIS
1	6999682689492137000♠0.682689492137	6999317310507863000♠0.317310507863	7000300000000000000♠3 .15148718753	A178647
2	6999954499736104000♠0.954499736104	6998455002638960000♠0.045500263896	7001210000000000000♠21 .9778945080	A110894
3	6999997300203937000♠0.997300203937	6997269979606300000♠0.002699796063	7002370000000000000♠370 .398347345	A270712
4	6999999936657516000♠0.999936657516	6995633424840000000♠0.000063342484	7004157870000000000♠15787 .1927673
5	6999999999426697000♠0.999999426697	6993573303000000000♠0.000000573303	7006174427700000000♠1744277 .89362
6	6999999999998027000♠0.999999998027	6991197300000000000♠0.000000001973	7008506797345000000♠506797345 .897

Մեծ ${\displaystyle n}$ -երի համար կարելի է մոտարկել ${\displaystyle 1-p\approx {\frac {e^{-n^{2}/2}}{n{\sqrt {\pi /2}}}}}$ -ով։