Semieix major

Una el·lipse és el conjunt de punts ${\displaystyle (x,y)}$ la qual suma de distàncies a dos punts distints prefixats, anomenats focus, és constant.

L'eix major d'una el·lipse és el seu diàmetre més llarg, una corda ${\displaystyle {\overline {AA'}}}$ que passa pel centre ${\displaystyle C}$ i els dos focus, ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle F'}$ . Els seus extrems són els dos punts més allunyats de l'el·lipse, els vèrtexs. El semieix major ${\displaystyle a}$ és una meitat de l'eix major, entre el centre i el vèrtex més proper passant per un dels focus.^[1] És un paràmetre molt important perquè apareix en altres valors de les el·lipses.

Suma de distàncies d'un punt als focus

La definició d'el·lipse diu que la suma de distàncies de qualsevol punt d'una el·lipse, com ara l'${\displaystyle M}$ , als dos focus és constant ${\textstyle {\overline {FM}}+{\overline {F'M}}=constant}$ . En un dels vèrtexs, per exemple l'${\displaystyle A'}$ , la suma a partir de la figura és:

$${\displaystyle {\overline {FA'}}+{\overline {F'A'}}=(a+c)+(a-c)=2a}$$

és a dir, l'eix major ${\displaystyle 2a}$ és aquest valor constant de la definició d'el·lipse.^[1]

Relació entre els dos semieixos

Si s'aplica als punts ${\displaystyle B}$ o ${\displaystyle B'}$ es té que ${\textstyle {\overline {FB}}+{\overline {F'B}}=2a}$ . Per simetria resulta que ${\textstyle {\overline {FB}}={\overline {F'B}}=a}$ . La relació entre el semieix major, el semieix menor ${\displaystyle b}$ (essent ${\displaystyle a>b}$ ) i la distància del centre als focus ${\displaystyle c}$ , es pot deduir aplicant el teorema de Pitàgores al triangle ${\textstyle {\widehat {BCF}}}$ i resulta:^[1]

$${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$$

Excentricitat

L'excentricitat d'una el·lipse és un paràmetre que informa sobre la forma que te l'el·lipse. Es defineix com la relació entre la distància focal ${\displaystyle c}$ , això és la distància entre un focus i el centre de l'el·lipse, i el semieix major ${\displaystyle a}$ :

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {c}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$$

Els valors de l'excentricitat per a una el·lipse són ${\textstyle 0<\varepsilon <1}$ . Si els dos semieixos són semblants l'el·lipse se sembla a una circumferència, que té excentricitat 0. Si augmenta l'excentricitat l'el·lipse es va fent cada vegada més aplanada. En arribar a l'excentricitat 1, la corba deixa de ser tancada i s'obri formant una paràbola.^[1]

Equació canònica

L'equació canònica d'una el·lipse amb l'eix major horitzontal i amb el centre al punt ${\displaystyle (h,k)}$ és:

$${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$$

$${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1}$$

Àrea de l'el·lipse

L'àrea d'una el·lipse s'obté a partir dels valor dels dos semieixos i val:^[1]

$${\displaystyle S=\pi ab}$$

Semi latus rectum

El latus rectum és la corda que passa per un dels focus i és perpendicular a l'eix major, i el semi latus rectum ${\displaystyle p}$ és la seva meitat. La relació que hi ha amb el semieix major és:^[2]

$${\displaystyle p=a(1-\varepsilon ^{2})}$$

Perímetre

La longitud o perímetre d'una el·lipse no té una fórmula exacte i s'ha aproximat aplicant diferents mètodes. La fórmula més famosa és la de Srinivasa Ramanujan (1887–1920), deduïda empíricament:^[3]

$${\displaystyle l=\pi \left[(a+b)+{\frac {3(a-b)^{2}}{10(a+b)+{\sqrt {a^{2}+14ab+b^{2}}}}}+{\frac {3a\varepsilon ^{20}}{68719476736}}\right]}$$

En astronomia, el semieix major és un dels elements orbitals més importants d'una òrbita, juntament amb el període orbital. El semieix major està relacionat amb el període de l'òrbita mitjançant la 3a llei de Kepler,

$${\displaystyle T^{2}=ka^{3}\,}$$

on ${\displaystyle T\,}$ és el període, ${\displaystyle k}$ la constant de Kepler i ${\displaystyle a}$ és el semieix major.

En realitat això és només una simplificació de l'equació general per al problema dels dos cossos, determinat per Isaac Newton:

$${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}\,}$$

on ${\displaystyle G}$ és la constant gravitacional, ${\displaystyle M}$ és la massa del cos central situat en un dels focus de l'òrbita, i ${\displaystyle m}$ és la massa del cos menor. Típicament, la massa del cos central és tan gran comparada amb la del cos menor que la massa d'aquest últim es pot ignorar en l'equació.

Distància mitjana

Es diu sovint que el semieix major és la distància «mitjana» entre el cos central i el cos menor. Això no és gaire precís, ja que depèn de quina mitjana es pren.

• fent la distància mitjana respecte a l'anomalia excèntrica s'obté el semieix major.
• fent la mitjana respecte a l'anomalia veritable (l'angle orbital verdader, mesurat al focus) s'obté, curiosament, el semieix menor ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!}$ .
• fent la mitjana respecte a l'anomalia mitjana (la fracció del període orbital que ha transcorregut des del periàpside, expressat com un angle), dona la mitjana temporal (que és el que «mitjana» sol significar per a la majoria de la gent): ${\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!}$ .

La mitjana temporal de la inversa del radi, ${\displaystyle r^{-1}\,\!}$ , és ${\displaystyle a^{-1}\,\!}$ .

Semieix major i semieix menor de les òrbites dels planetes

Les òrbites dels planetes se citen sempre com a exemples d'el·lipses (primera llei de Kepler). Tot i això, la mínima diferència entre els eixos semieix major i semieix menor mostra que són pràcticament circulars en aparença. Aquesta diferència (o relació) es basa en l'excentricitat i es calcula com ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$ , que per a les excentricitats típiques dels planetes dóna resultats molt petits.

La raó de la suposició d'òrbites el·líptiques prominents radica probablement en la diferència molt més gran entre l'afeli i el periheli. Aquesta diferència (o ràtio) també es basa en l'excentricitat i es calcula com ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$ . A causa de la gran diferència entre l'afeli i el periheli, Segona llei de Kepler es visualitza fàcilment.