Большая полуось

Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр — отрезок, проходящий через центр и два фокуса. Большая полуось составляет половину этого расстояния и идёт от центра эллипса к его краю через фокус.

Под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — минимальное расстояние от центра эллипса до его края. У частного случая эллипса — круга — большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом, можно рассматривать большую и малую полуоси как некоего рода радиусы эллипса.

Длина большой полуоси ${\displaystyle a}$ связана с длиной малой полуоси ${\displaystyle b}$ через эксцентриситет ${\displaystyle e}$ , фокальный параметр ${\displaystyle p}$ и фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами) ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}}$ следующим образом:

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}},}$

${\displaystyle p=a(1-e^{2}),}$

${\displaystyle ap=b^{2}.}$

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

Большая полуось представляет собой среднее арифметическое между расстояниями от любой точки эллипса до его фокусов.

Рассмотрев уравнение в полярных координатах, с точкой в начале координат (полюс) и лучом, начинающейся из этой точки (полярная ось):

${\displaystyle r(1-e\cos \theta )=p}$

Получим средние значения ${\displaystyle r={p \over {1+e}}}$ и ${\displaystyle r={p \over {1-e}}}$ и большую полуось ${\displaystyle a={p \over 1-e^{2}}.}$

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остаётся постоянным, а другой отодвигается в бесконечность, сохраняя ${\displaystyle p}$ постоянным. Таким образом ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ стремятся к бесконечности, причём ${\displaystyle a}$ быстрее, чем ${\displaystyle b}$ .

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси ${\displaystyle x}$ (слева и справа относительно начала координат). Уравнение ветви, расположенной на положительной стороне:

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Большая полуось, выраженная через фокальный параметр и эксцентриситет, равна

${\displaystyle a={p \over e^{2}-1}}$ .

Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.^[1]

Орбитальный период

В небесной механике орбитальный период ${\displaystyle T}$ обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over \mu }}}$

где:

${\displaystyle a}$  — это размер большой полуоси орбиты

${\displaystyle \mu }$  — это стандартный гравитационный параметр (произведение гравитационной постоянной на массу объекта ${\displaystyle \mu =GM\ }$ )

Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела.

Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$

где:

${\displaystyle T}$  — орбитальный период в годах;

${\displaystyle a}$  — большая полуось в астрономических единицах.

Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}$

где:

${\displaystyle G}$  — гравитационная постоянная

${\displaystyle M}$  — масса центрального тела

${\displaystyle m}$  — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.

Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля—Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет 384 400 км, в то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля—Луна составляет 379 730 км — из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а на расстоянии 4670 км от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; то же самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения — в зависимости от величины, по которой производят усреднение:

• усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.
• усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.
• усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:

${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right).}$

• усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:

${\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}.}$

Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния

В небесной механике большая полуось ${\displaystyle a}$ может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:

${\displaystyle a={-\mu \over {2\varepsilon }}}$

для эллиптических орбит

${\displaystyle a={\mu \over {2\varepsilon }}}$

для гиперболической траектории

и

${\displaystyle \varepsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}$

(удельная орбитальная энергия)

и

${\displaystyle \mu =G(M+m)}$

(стандартный гравитационный параметр),где:

${\displaystyle v}$  — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости,

${\displaystyle r}$  — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца),

${\displaystyle G}$  — гравитационная постоянная,

${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$  — массы тел.

Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.

Большие и малые полуоси орбит планет

Орбиты планет всегда приводятся в качестве главных примеров эллипсов (первый закон Кеплера). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круговые по внешнему виду. Эта разница (или соотношение) основывается на эксцентриситете и вычисляется как ${\displaystyle a/b=1/{\sqrt {1-e^{2}}}}$ , что для типичных эксцентриситетов планет дает очень малые значения. Причина предположения о значительной эллиптичности орбит, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также основывается на эксцентриситете и рассчитывается как ${\displaystyle r_{\text{a}}/r_{\text{p}}=(1+e)/(1-e)}$ . Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко изобразить графически.

• Элементы орбиты
• Кеплеровы элементы орбиты
• Эксцентриситет
• Апоцентр и перицентр

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse Архивная копия от 2 апреля 2012 на Wayback Machine With interactive animation