Ellipsoide
En ellipsoide er en lukket flade i et 3-dimensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D-analogi til ellipsen, på samme måde som kuglen er det for en cirkel.
Beskrivelse
Standardligningen for en ellipsoide centeret i origo af et Kartesisk koordinatsystem er:
Hvor a, b, c er længden af de tre halv-akser målt på hhv. x-, y- og z-aksen.
Undertyper
Man kan underinddele ellipsoiden i fire forskellige tilfælde på baggrund af halv-aksernes indbyrdes længde:
- — tri-aksial ellipsoide
- — oblat omdrejningsellipsoide (oblat sfæroide)
- — prolat omdrejningsellipsoide (prolat sfæroide)
- — trivial tilfældet, en kugle
Rumfang
Rumfanget (V) af en ellipsoide er givet ved formlen:
Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.
Overfladeareal
Overfladearealet (S) af en generel (tri-aksial) ellipsoide er[1][2]
- hvor
og F(φ,k), E(φ,k) er ukomplette elliptiske integraler af første og anden art respektive. DLMF: §19.2 Definitions Arkiveret 2. december 2012 hos Wayback Machine
For omdrejningsellipsoiden kan udtrykket reduceres til:
I begge tilfælde kan e betragtes som excentriciteten af den ellipse der fremkommer ved et tværsnit gennem symmetriaksen.
Eksempler på ellipsoidelignende figurer i den virkelige verden
- Prolat-lignende: Bolden i rugby og amerikansk fodbold.
- Oblat-lignende: Grapefrugt, klassisk afrundet pille, planeter (herunder Jorden) samt de fleste dværgplaneter.
- Triaksial-lignende: Dværgplaneten Haumea, der roterer så hurtigt at den formentlig antager en triaksial ellipsoide form.
Benævnelser
Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.
Videnskabelig litteratur (især geodæsi) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.
Ældre litteratur bruger 'sfæroide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.
Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).
Ellipsoider i kartografi
Indenfor kartografien benyttes oblate omdrejningsellipsoider, kaldet referenceellipsoider, til at koordinatsætte punkter på Jorden.