Στην άλγεβρα , το θεώρημα Μπεζού για τα πολυώνυμα είναι μία ειδική περίπτωση του θεωρήματος διαίρεσης για τα πολυώνυμα, όπου ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού.[1] [2] [3] [4] [5]
Έστω το πολυώνυμο P ( x ) = x 4 − 9 x 2 + 2 x − 2 {\displaystyle P(x)=x^{4}-9x^{2}+2x-2} Q ( x ) = x − 3 {\displaystyle Q(x)=x-3} P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} P ( 3 ) = 4 {\displaystyle P(3)=4}
Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι
P ( x ) = ( x − 3 ) ⋅ ( x 3 + 3 x 2 + 2 ) + 4 , {\displaystyle P(x)=(x-3)\cdot (x^{3}+3x^{2}+2)+4,} που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με P ( 3 ) = 4 {\displaystyle P(3)=4}
Έστω το πολυώνυμο P ( x ) = 3 x 4 + 2 x + 5 {\displaystyle P(x)=3x^{4}+2x+5} Q ( x ) = x − 2 {\displaystyle Q(x)=x-2} P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} P ( 2 ) = 7 {\displaystyle P(2)=7}
Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι
P ( x ) = ( x − 2 ) ⋅ ( 3 x 4 + 2 x + 5 ) + 7 , {\displaystyle P(x)=(x-2)\cdot (3x^{4}+2x+5)+7,} που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με P ( 2 ) = 7 {\displaystyle P(2)=7}
Έστω το πολυώνυμο P ( x ) = x n − y n {\displaystyle P(x)=x^{n}-y^{n}} παραγοντοποίησης έχουμε ότι
P ( x ) = ( x − y ) ⋅ ( x n − 1 + y x n − 2 + … + y n − 2 x + y n − 1 ) , {\displaystyle P(x)=(x-y)\cdot (x^{n-1}+yx^{n-2}+\ldots +y^{n-2}x+y^{n-1}),} και έπεται ότι το υπόλοιπο με την διαίρεση με το Q ( x ) = x − y {\displaystyle Q(x)=x-y} P ( y ) = 0 {\displaystyle P(y)=0}
Το θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων λέει ότι για τα πολυώνυμα P ( x ) {\displaystyle P(x)} Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} Π ( x ) {\displaystyle \Pi (x)} R ( x ) {\displaystyle R(x)} deg ( R ) < deg ( Q ) {\displaystyle \operatorname {deg} (R)<\operatorname {deg} (Q)}
P ( x ) = Π ( x ) ⋅ Q ( x ) + R ( x ) . {\displaystyle P(x)=\Pi (x)\cdot Q(x)+R(x).} Επομένως, όταν το Q ( x ) = x − r {\displaystyle Q(x)=x-r}
P ( x ) = Π ( x ) ⋅ ( x − r ) + R . {\displaystyle P(x)=\Pi (x)\cdot (x-r)+R.} Για x = r {\displaystyle x=r} P ( r ) = R {\displaystyle P(r)=R}
Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα για κάθε x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } r ∈ N {\displaystyle r\in \mathbb {N} }
x r − y r = ( x − y ) ⋅ ( x r − 1 + y x r − 2 + … + y r − 2 x + y r − 1 ) {\displaystyle x^{r}-y^{r}=(x-y)\cdot (x^{r-1}+yx^{r-2}+\ldots +y^{r-2}x+y^{r-1})} και θα γράψουμε S r = x r − 1 + y x r − 2 + … + y r − 2 x + y r − 1 {\displaystyle S_{r}=x^{r-1}+yx^{r-2}+\ldots +y^{r-2}x+y^{r-1}}
P ( x ) − P ( r ) = ( a n x n + … + a 1 x + a 0 ) − ( a n r n + … + a 1 r + a 0 ) = a n ⋅ ( x n − r n ) + … + a 1 ⋅ ( x − r ) = a n ⋅ ( x − r ) ⋅ S n + … + a 1 ⋅ ( x − r ) ⋅ S 1 = ( x − r ) ⋅ ( a n S n + … + a 1 S 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}P(x)-P(r)&=(a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0})-(a_{n}r^{n}+\ldots +a_{1}r+a_{0})\\&=a_{n}\cdot (x^{n}-r^{n})+\ldots +a_{1}\cdot (x-r)\\&=a_{n}\cdot (x-r)\cdot S_{n}+\ldots +a_{1}\cdot (x-r)\cdot S_{1}\\&=(x-r)\cdot (a_{n}S_{n}+\ldots +a_{1}S_{1}).\end{aligned}}} Επομένως,
P ( x ) = ( x − r ) ⋅ ( a n S n + … + a 1 S 1 ) + P ( r ) , {\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot (a_{n}S_{n}+\ldots +a_{1}S_{1})+P(r),} που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι P ( r ) {\displaystyle P(r)}
Το παρακάτω πόρισμα προκύπτει από το γεγονός ότι P ( r ) = 0 {\displaystyle P(r)=0} r {\displaystyle r}
.
