ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ตัวอย่าง 1

ให้ ${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$ การหารพหุนาม ${\displaystyle f(x)}$ ด้วย ${\displaystyle (x-3)}$ ให้ผลหาร ${\displaystyle x^{2}-9x-27}$ และเหลือเศษ ${\displaystyle -123}$ เพราะฉะนั้น ${\displaystyle f(3)=-123}$

ตัวอย่าง 2

แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามเป็นจริงกับพหุนามดีกรี 2 ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ใด ๆ ด้วยการจัดรูปพีชคณิต:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}}$

คูณทั้งสองฝั่งด้วย (x − r) ได้

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}}$ .

ในเมื่อ ${\displaystyle R=ar^{2}+br+c}$ เป็นเศษเหลือ เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่า ${\displaystyle f(r)=R}$ .

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามตามมาจากขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดสำหรับพหุนามที่บอกว่าเมื่อกำหนดพหุนามสองตัวf(x) (ตัวตั้งหาร) และ g(x) (ตัวหาร) จะมีพหุนามผลหาร Q(x) และพหุนามเศษเหลือ R(x) เพียงชุดเดียวที่สอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+R(x)}$ และ ${\displaystyle R(x)=0}$ หรือ ${\displaystyle \deg(R)<\deg(g)}$

ถ้าตัวหาร ${\displaystyle g(x)=x-r}$ เมื่อ r เป็นค่าคงตัว ก็อาจเป็นได้ทั้ง R(x) = 0 หรือมีดีกรี 0 ซึ่งในทั้งสองกรณี R(x) เป็นค่าคงตัวที่ขึ้นอยู่กับ x คือ

${\displaystyle f(x)=Q(x)(x-r)+R}$

เมื่อกำหนดให้ ${\displaystyle x=r}$ ในสูตรนี้แล้วก็จะได้:

${\displaystyle f(r)=R.}$

มีการพิสูจน์ที่ต่างกันเล็กน้อยซึ่งอาจดูพื้นฐานกว่าสำหรับบางคน เริ่มต้นจากการสังเกตว่า ${\displaystyle f(x)-f(r)}$ เป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์ในรูป ${\displaystyle x^{k}-r^{k}}$ ซึ่งแต่ละพจน์สามารถหารได้ด้วย ${\displaystyle x-r}$ เพราะ ${\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})}$

ทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามสามารถใช้เพื่อหา ${\displaystyle f(r)}$ ด้วยการคำนวนหาเศษเหลือ ${\displaystyle R}$ แต่การหารยาวพหุนาม (polynomial long division) ก็ยากกว่าการหาค่าฟังก์ชันไปเลย และการหารสังเคราะห์ (synthetic division) คำนวณได้ง่ายกว่า ดังนั้นเราอาจสามารกหาค่าของฟังก์ชันได้ด้วยการใช้การหารสังเคราะห์และทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนาม

ทฤษฎีบทตัวประกอบเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลืออีกเรื่องหนึ่ง: ถ้าเศษเหลือเท่ากับศูนย์ ตัวหารสมการเชิงเส้นนั้นเป็นตัวประกอบของพหุนาม สามารถหาตัวประกอบของพหุนามได้ด้วยการใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบซ้ำหลายครั้ง^[3]