Neeŭklidaj geometrioj

Skribante pri la geometrio tiam konata, Eŭklido postulis kelkajn bazajn faktojn por helpi ekspliki pluajn matematikajn rezultojn. El tiuj postulatoj, la kvina temis pri la ekzisto de rektaj linioj paralelaj:

Kaj se unu rekto incidanta sur du rektoj faras ke la internaj anguloj de la sama flanko estu malpli larĝa ol du rektaj anguloj, la du senĉese plilongigataj rektoj troviĝos en la flanko en kiu estas la anguloj kiuj estas malpli largaj ol du rektaj.^[1]

Rediris Proklo, Playfair kaj Ĥajam la postulaton pli simple:

Havante linion kaj iun punkton ne sur la linio, oni povas desegni tra la punkto nur unu paralelon.^[2]

Dum iom da tempo, geometriistoj provis montri, ke rekta paraleleco estus pruvebla per la aliaj postulatoj de Eŭklido. Anstataŭe montriĝis, ke oni povas ŝanĝi la kvinan postulaton por krei utilajn spaco-modelojn kun diferencaj matematikaj rezultoj. Kelkaj matematikistoj, helpintaj malkovri neeŭklidajn geometriojn, estas Gaŭso, János Bolyai kaj Nikolaj Lobaĉevskij.^[3]

Samradiusajn cirklojn uzas la sfera geometrio simile, kiel rektojn la Eŭklida.^[4] Sfer-geometrie, ĉiu sufiĉe longa linio kontaktas alian, do paraleloj ne ekzistas. Tiu geometrio estas utila modelo por la surfaco de sfero. Tial uzas ĝin oni en surtera navigacio.^[3]

En la hiperbola geometrio, linio havas du aŭ pli sam-ebenajn paralelojn tra unu ekster-linia punkto. Tiu geometrio obeas ĉiujn Eŭklidajn postulatojn krom la kvina, pruvante ĝian logikan sendependecon de la aliaj.^[3]

La neeŭklidaj geometrioj iom similas al la Eŭklida. Ekzemple, en iu ajn el la tri, oni povas desegni triangulojn. Tamen multaj bone konataj faktoj pri trianguloj kaj aliaj figuroj diferencas inter la malsamaj geometrioj. Nek ortanguloj nek neegalaj similaj trianguloj ekzistas en la neeŭklidajn geometriojn. La sumo de la angul-mezuroj en triangulo estas 180° en la eŭklida geometrio sed ne en la aliaj.^[5]