Неевклидова геометрия

Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат^[1]:

• Евклидова геометрия: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$ (теорема Пифагора).
• Сферическая геометрия: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+\cos ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}}$ . Здесь R — радиус сферы.
• Геометрия Лобачевского: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+\operatorname {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}}$ . Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

Выше дано определение неевклидовых геометрий в терминах дифференциальной геометрии; однако можно описать их и с помощью чисто геометрической аксиоматики. Первая полная система аксиом для евклидовой и неевклидовой геометрий была построена Давидом Гильбертом в своём труде «Основания геометрии».

Исторически главное отличие неевклидовых геометрий от евклидовой отмечалось в теории параллельных прямых. Согласно аксиоме евклидовой геометрии, через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной; в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, а в сферической геометрии параллельных прямых нет вообще (все прямые пересекаются). Именно этот факт Гильберт положил в основу своей аксиоматики. Соответственно многие теоремы в разных геометриях различаются. Примеры:

Величина	В евклидовой геометрии	В геометрии Лобачевского	В сферической геометрии
Сумма углов треугольника	равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$	меньше ${\displaystyle 180^{\circ }}$	больше ${\displaystyle 180^{\circ }}$
Отношение длины окружности к её диаметру	равно ${\displaystyle \pi }$	больше ${\displaystyle \pi }$	меньше ${\displaystyle \pi }$

В то же время существует класс аксиом (например, аксиомы движения), общий для всех трёх геометрий^[1]. Геометрические теоремы, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского, принято называть «абсолютной геометрией»^[3].

• Неархимедова геометрия
• Недезаргова геометрия

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990. — ISBN 978-5-9775-0419-5.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007. — ISBN 978-5-484-00871-1.
• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». 1988. Т. 29. — С. 5-146.
• Берже М. Геометрия. В 2 т. / Пер. с франц. — М.: Мир, 1984. — 928 с. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия.
• Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — М.: Гостехиздат, 1956.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — М.: изд. НКТП СССР, 1936. — 355 с.
• Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. — М.: Просвещение, 1976.
• Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1981. — 270 с.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Факториал, 2000.
• Неевклидовы геометрии // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — Стб. 910—914. — 1184 с.
• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — Изд. 3-е. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-166-2.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.