در هندسهٔ تحلیلی ، رویههای درجهٔ دوم در فضای سهبعدی دستهای از رویهها هستند که به این صورت تعریف میشوند: مکان هندسی همهٔ نقاطی مانند P = ( x , y , z ) {\displaystyle P=(x,y,z)} که در معادلهٔ F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} صدق کنند که F {\displaystyle F} یک تابع درجهٔ دو است.[۱]
به عنوان مثال کُره یک رویهٔ درجه دو است؛ زیرا معادلهٔ استاندارد کره یک معادلهٔ درجه دو است: x 2 + y 2 + z 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}
بهطور کلّیتر، ابررویههای درجه دو در فضای R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} دستهای از ابررویههای n − 1 {\displaystyle n-1} -بعدی هستند که به این صورت تعریف میشوند: مجموعهٔ همهٔ نقاطی مانند P = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} که در معادلهٔ F ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 {\displaystyle F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0} صدق کنند که F {\displaystyle F} یک تابع درجهٔ دو است.
در نتیجه میتوان مقاطع مخروطی را حالت خاصی از رویههای درجه دو (حالت n = 2 {\displaystyle n=2} ) دانست. البتّه در فضای دوبعدی به جای «رویه » باید از اصطلاح «خم » استفاده کرد.
در سه بعد در فضای سهبعدی، رویههای درجه دو به شاخههای زیر تقسیم میشود:[۱]
بیضیگون x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,} سهمیگون بیضوی x 2 a 2 + y 2 b 2 = z c {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}={z \over c}\,} سهمیگون هذلولوی x 2 a 2 − y 2 b 2 = z c , c > 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}={z \over c},\quad c>0\,} هذلولیگون یکپارچه x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,} هذلولیگون دوپارچه x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,}
حالات حدّی یا تبهگنی مخروط بیضوی x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,} استوانهٔ بیضوی x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,} استوانهٔ هذلولوی x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,} استوانهٔ سهموی x 2 + 2 a y = 0 {\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}
وقتی که دو یا هر سه ثابت ( a {\displaystyle a} و b {\displaystyle b} و c {\displaystyle c} ) با یکدیگر برابر باشند، رویهٔ درجه دو دورانی به دست میآید:
حالات خاص: رویهٔ دورانی کرهگون x 2 a 2 + y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,} کره x 2 + y 2 + z 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\,} سهمیگون دایروی x 2 a 2 + y 2 a 2 − z = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,} هذلولیگون دورانی یکپارچه x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 b 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=1\,} هذلولیگون دورانی دوپارچه x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 b 2 = − 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=-1\,} سطح مخروطی x 2 a 2 + y 2 a 2 − z 2 b 2 = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0\,} استوانه (دایروی) x 2 a 2 + y 2 a 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,}
جستارهای وابسته منابع