معادله ریکاتی

نام این معادله به افتخار جاکوبو ریکاتی، ریاضیدان ایتالیایی گذاشته شده‌است کهمختصری از زندگی‌نامه این شخصیت بزرگوار و چگونگی نام گرفتن این معادله راشرح می‌دهیم.جاکوبو فرانچسکو ریکاتی در ۲۸ می ۱۶۷۶ در شهر ونیز ایتالیا به دنیا آمد.تحصیلات ابتدایی را در مدرسه جسوت در برشا گذراند.در سال ۱۶۹۳ وارد دانشگاه پادوآ شد و در سال ۱۶۹۶ موفق به اخذ مدرک دکترادر رشتهٔ حقوق شد. با تشویق از سوی استفانو آنجلی برای دنبال کردنریاضیات، ریکاتی شروع به تحصیل در رشته آنالیز ریاضی کرد. بعد از آن اوپیشنهادهای زیادی دریافت کرد؛ ولی او همهٔ پیشنهادها را رد کرده و زندگیخود را وقف آنالیز ریاضی کرد. پیوتر اول، امپراتور وقت روسیه از او دعوت کردتا به عنوان رئیس دانشکده علوم سن پطرزبورگ ادامه فعالیت دهد.او همچنان به عنوان مشاور امپراتوری در وین دعوت شد. با این وجود او همهٔاین پیشنهادها را رد کرد.بعضی از کارهای او در مبحث چندجمله‌ای‌ها، با همکاری ماریا آنیسی و به درخواست.او در یک کتاب جمع‌آوری شد.بعداز آن این معادله به این نام نامگذاری شد.

از تغییر متغیر ${\displaystyle v=q_{2}y}$ استفاده می‌کنیم بنابراین:

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}}$

S و R را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$ و ${\displaystyle R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)}$

با جای گذاری ${\displaystyle v=-u'/u}$ داریم:

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}}$

وصورت ساده شده معادله یه صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

برای یافتن جواب عمومی معادله ابتدا یک جواب معادله را پیدا می‌کنیم.

با جایگذاری ${\displaystyle y=y_{1}+u}$ در معادله داریم:

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

و باتوجه به اینکه:

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2}}$

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

یا:

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

که این معادله تبدیل به معادله برنولی می‌شود.از تغییر متغیر ${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$ استفاده می‌کنیم.پس داریم:

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

که Z یک جواب عمومی برای معادله است.

• معادله دیفرانسیل مرتبه اول
• معادله برنولی

• مقاصدی-طباطبایی-دوستی (۱۳۸۶)، «دوم»، مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل، روشنگران امروز، ص. ۴۱، شابک ۹۷۸-۹۶۴-۹۰۷۴۵-۹-۷