Conductivité thermique

Quand le matériau considéré est homogène et isotrope, la loi de Fourier s'écrit^[1] :

${\displaystyle {\vec {\varphi }}=-\lambda \,{\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,T}$

où :

${\displaystyle {\vec {\varphi }}\,}$ désigne la densité de flux thermique (W/m²),

λ la conductivité thermique (W m⁻¹ K⁻¹),

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {grad} }}\,}$ l'opérateur gradient,

T la température (K).

Un matériau a par exemple une conductivité thermique de 1 W m⁻¹ K⁻¹ si un gradient thermique de 1 K/m induit par conduction un flux thermique de 1 W/m² (de sens opposé au gradient).

Lorsque le matériau est anisotrope, sa conductivité thermique varie selon les directions. Le λ mentionné dans la loi de Fourier peut alors s'exprimer par un tenseur de conductivité^[2] :

λ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}\\\lambda _{3,1}&\lambda _{3,2}&\lambda _{3,3}\end{pmatrix}}}$

avec les remarques suivantes :

• ${\displaystyle \lambda _{i,j}}$ > 0
• ${\displaystyle \lambda _{i,j}}$ = ${\displaystyle \lambda _{j,i}}$
• ${\displaystyle \lambda _{i,i}\lambda _{j,j}-\lambda _{i,j}^{2}>0}$

Définir les axes de coordonnées selon des directions particulières permet de simplifier le tenseur de conductivité en annulant tous les coefficients de la matrice qui ne sont pas des coefficients diagonaux. Le λ de la loi de Fourier s'exprime alors de la manière suivante^[2] :

λ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&0&0\\0&\lambda _{2,2}&0\\0&0&\lambda _{3,3}\end{pmatrix}}}$

Plus la conductivité thermique est élevée, plus le matériau est conducteur de chaleur ; plus elle est faible, plus il est isolant. Le cuivre, avec une conductivité thermique de 380 W m⁻¹ K⁻¹, est ainsi plus de 10 000 fois plus conducteur de la chaleur que le polyuréthane (0,023 W m⁻¹ K⁻¹)^[3].

La conductivité dépend principalement de :

• la nature du matériau ;
• la température ;
• d’autres paramètres comme l’humidité et la pression.

La conductivité thermique va généralement de pair avec la conductivité électrique. Les métaux par exemple, bons conducteurs de l'électricité, sont aussi de bons conducteurs thermiques. Il y a des exceptions, comme le diamant qui a une conductivité thermique élevée (entre 1 000 et 2 600 W m⁻¹ K⁻¹) alors que sa conductivité électrique est basse, tandis que le graphène (5 300 W m⁻¹ K⁻¹) est meilleur conducteur thermique et bien meilleur conducteur électrique (du moins dans certaines directions, car c'est un matériau fortement anisotrope).

La conductivité des gaz purs et des mélanges peut être calculée à partir de la méthode de Chapman-Enskog en utilisant un potentiel d'interaction molécule-molécule tel que le potentiel Lennard-Jones. Cette propriété de transport macroscopique (domaine continu) est l'image des transferts de quantité de mouvement et d'énergie à l'échelle moléculaire qui croissent avec la force des collisions, donc avec la température et qui s'opposent à l'advection de la quantité de mouvement dans le milieu.

Corps purs

La conductivité d'un corps pur sans degré de liberté interne est étroitement liée à sa viscosité ${\displaystyle \textstyle \mu }$ et donnée par l'expression suivante

${\displaystyle \lambda ={\frac {5C_{V}}{2}}\mu ={\frac {5\alpha }{2}}{\frac {(MT)^{\frac {1}{2}}}{\sigma ^{2}\Omega ^{*}}}C_{V}^{trans}\,,\quad \alpha ={\frac {5}{16}}\left({\frac {k_{B}}{\pi N_{A}}}\right)^{\frac {1}{2}}=8.4419...\times 10^{-25}\,J^{\frac {1}{2}}\cdot K^{-{\frac {1}{2}}}\cdot mol^{\frac {1}{2}}}$

où ${\displaystyle T}$ est la température, ${\displaystyle M}$ la masse molaire, ${\displaystyle N_{A}}$ le nombre d'Avogadro, ${\displaystyle k_{B}}$ la constante de Boltzmann, ${\displaystyle \sigma }$ la section efficace et ${\displaystyle \Omega ^{*}}$ l'intégrale de collision réduite par sa valeur utilisant un potentiel sphères dures. Ce terme dépend faiblement de la température, il est donc voisin de l'unité. Si on prend ${\displaystyle \Omega ^{*}=1}$ on retrouve l'approximation d'un milieu composé de sphères dures parfaitement élastiques. Le terme ${\displaystyle T^{\frac {1}{2}}}$ représente le nombre de collisions par unité de temps.

La chaleur massique à volume constant est réduite à sa composante liée à la translation :

${\displaystyle C_{V}=C_{V}^{trans}={\frac {3R}{2M}}}$

La contribution des degrés de liberté internes est obtenue en utilisant la corrélation d'Eucken.

La quantité ${\displaystyle \sigma \Omega ^{*}}$ est souvent disponible dans les bases de données sous forme tabulée^[4] ou sous forme polynomiale

${\displaystyle y=\sum _{i=i_{1}}^{i_{2}}a_{i}T^{i}}$

où ${\displaystyle i_{1}}$ peut être négatif. On trouve également des approximations faisant intervenir des termes en ${\displaystyle e^{-b_{i}T}}$ .

Ce type d'approximation est également utilisé pour donner une expression numérique ${\displaystyle \lambda =f(T)}$ ^[5].

Mélanges gazeux

La conductivité translationnelle d'un mélange gazeux de ${\displaystyle N}$ corps est solution d'un système algébrique linéaire d'ordre ${\displaystyle N}$ et de rang ${\displaystyle N-1}$ ^[4],[6]. Elle s'exprime donc sous la forme ${\displaystyle \lambda =f\left(T,x_{i}(T)\right)}$ où ${\displaystyle x_{i}}$ est la fraction volumique de l'espèce ${\displaystyle i}$ dans le mélange. Il existe nombre d'approximations précises dans un domaine plus ou moins large (voir figure ci-contre). Elles sont généralement basées sur une approximation de la solution formelle sous forme d'une série de déterminants. On obtient ainsi^[7] :

${\displaystyle \lambda =\sum _{i}{\frac {x_{i}\lambda _{i}}{x_{i}+\sum _{j\neq i}\psi _{ij}x_{j}}}}$

avec (par exemple) :

${\displaystyle \psi _{ij}={\frac {{\mathcal {D}}_{ii}}{{\mathcal {D}}_{ij}}}x_{j}}$

Où ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {D}}}$ est le coefficient de diffusion binaire.

Beaucoup d'autres approximations sont possibles^[7],[8].

On peut obtenir avec le même type de méthode des approximations de la conductivité interne, avec cependant une précision assez modeste (voir courbes).

À l'échelle atomique, le transfert de chaleur dans les solides peut être réalisé par le biais de toute particule ou quasi-particule. La conductivité thermique correspond à la somme des contributions de celles-ci. Dans les solides, le transfert de chaleur est principalement dû aux phonons, aux électrons et aux magnons. Les magnons peuvent représenter une part importante de la conductivité thermique dans certains matériaux comme les cuprates. Des contributions d'autres particules restent possibles^[9].

Dans les métaux, le mouvement des électrons libres est prépondérant dans la conduction de chaleur du fait de leur vitesse importante, bien qu'une faible part d'entre eux soient thermiquement excités ; dans les non-métaux, la vibration des ions est la plus importante dans ce rôle^[10]. La conductivité thermique est donc liée d’une part à la conductivité électrique (mouvement des porteurs de charge) et d'autre part à la structure même du matériau (vibrations des atomes autour de leur position d'équilibre). En effet, dans un solide, les vibrations des atomes ne sont pas aléatoires et indépendantes les unes des autres, mais correspondent à des modes propres de vibration, aussi appelés « phonons » (on peut faire par exemple l’analogie avec un pendule ou une corde de guitare, dont la fréquence de vibration est fixée). Ces modes propres de vibration correspondent à des ondes qui peuvent se propager dans le matériau, si sa structure est périodique (organisée). Cette contribution est donc plus importante dans un cristal, ordonné, que dans un verre, désordonné (d’où par exemple la différence de conductivité thermique entre le diamant ci-dessus et le verre dans le tableau)^[10].

Mathématiquement, la conductivité thermique λ peut donc s'écrire comme la somme de deux contributions^[10] :

${\displaystyle \lambda =\lambda _{\text{e}}+\lambda _{\text{p}}}$

où :

• λ_e est la contribution des porteurs de charge (électrons ou trous), ou conductivité thermique électronique ;
• λ_p est la contribution des vibrations des atomes (phonons), ou conductivité thermique de réseau.

La contribution des porteurs de charge est liée à la conductivité électrique σ du matériau par la relation de Wiedemann-Franz^[11] :

${\displaystyle \lambda _{e}=LT\sigma }$

où L est appelé facteur de Lorentz^[11]. Ce nombre L dépend des processus de diffusion des porteurs de charge (ce qui correspond plus ou moins à la façon dont ils sont gênés par des obstacles lors de leurs déplacements, voir aussi diffusion des ondes) ainsi que de la position du niveau de Fermi. Dans les métaux, on le considérera égal au nombre de Lorenz L₀, avec :

${\displaystyle L_{0}={\frac {\pi ^{2}}{3}}\left({\frac {k}{e}}\right)^{2}=2{,}45\times 10^{-8}\;\mathrm {V} ^{2}\mathrm {K} ^{-2}}$

où :

• k est la constante de Boltzmann ;
• e est la charge de l'électron.

En réalité, L varie selon la température et le métal considéré :

Pour les matériaux de construction, qui peuvent être sujets à d'importants taux d'humidité, il existe une relation permettant de relier les conductivités du matériau sec et du matériau humide lorsque des mesures ne peuvent être réalisées. Cette relation est la suivante^[13] :

${\displaystyle \lambda =k\,\lambda _{0}\mathrm {e} ^{0{,}08\,H}}$

où :

• k est un coefficient de dimensions ;
• H est l’humidité relative en pourcentage ;
• λ₀ est la conductivité thermique du matériau sec ; λ la conductivité thermique du matériau en condition d'humidité H
• e représente la fonction exponentielle.

État stationnaire

La détermination de la conductivité thermique d’un matériau repose sur le lien entre le gradient de température et le flux de chaleur qu'il génère dans ce matériau^[14]. Le principe est illustré sur la figure suivante :

L’une des extrémités de l’échantillon de section A est fixée à un doigt froid (bain thermique) dont le rôle est d'évacuer le flux thermique traversant l'échantillon, et l’extrémité opposée à une chaufferette dissipant dans l’échantillon une puissance thermique Q obtenue par effet Joule, de manière à produire un gradient thermique suivant la longueur de l’échantillon. Des thermocouples séparés par une distance L mesurent la différence de température ΔT le long de l’échantillon. Un troisième thermocouple, calibré, est également fixé à l’échantillon pour déterminer sa température moyenne (la température de mesure). La conductivité thermique est alors donnée par^[14] :

${\displaystyle \lambda ={\frac {Q\times L}{A\times \Delta T}}}$ .

Si ΔT n’est pas trop important (de l'ordre de 1 °C), la conductivité thermique mesurée est celle correspondant à la température moyenne mesurée par le troisième thermocouple. Le principe de la mesure repose alors sur l’hypothèse que la totalité du flux de chaleur passe par l’échantillon. La précision de la mesure dépend donc de la capacité à éliminer les pertes thermiques, que ce soit par conduction thermique par les fils, convection par le gaz résiduel, radiation par les surfaces de l’échantillon ou pertes dans la chaufferette : la mesure s'effectue donc dans des conditions adiabatiques^[14].

Pour assurer la meilleure précision possible, l’échantillon dont on souhaite mesurer la conductivité thermique est donc placé dans une chambre de mesure sous vide (pour minimiser la convection). Cette chambre est elle-même enveloppée dans plusieurs boucliers thermiques dont la température est régulée (afin de minimiser les effets radiatifs). Enfin, les fils des thermocouples sont choisis de manière à conduire le moins possible la chaleur^[14].

Étant donné qu’il est d'autant plus difficile de minimiser les pertes thermiques que la température augmente, cette technique ne permet la mesure de la conductivité thermique qu’à des températures inférieures à la température ambiante (de 2 à 200 K sans difficulté, et jusqu’à 300 K (27 °C) pour les meilleurs appareils de mesure).

Méthode dite « Laser Flash »

Pour les températures supérieures à la température ambiante, il devient de plus en plus difficile d’éliminer ou de tenir compte des pertes thermiques par radiation (conditions adiabatiques), et l’utilisation de la technique à l’état stationnaire présentée ci-dessus n’est pas recommandée. Une solution est de mesurer la diffusivité thermique en lieu et place de la conductivité thermique. Ces deux grandeurs sont en effet liées par la relation :

${\displaystyle \lambda (T)=a(T)d(T)C_{p}(T)}$

où :

• λ(T) est la conductivité thermique en W cm⁻¹ K⁻¹ ;
• a(T) est la diffusivité thermique en cm² s⁻¹ ;
• d(T) est la masse volumique en g cm⁻³ ;
• C_p(T) est la capacité thermique massique en J g⁻¹ K⁻¹.

Si l’on suppose que la masse volumique ne varie pas avec la température, il suffit de mesurer la diffusivité thermique et la chaleur spécifique pour obtenir une mesure de la conductivité thermique à haute température.

La figure suivante schématise l’appareillage utilisé pour la mesure de conductivité thermique par la méthode dite « laser flash »^[15] :

Un échantillon cylindrique dont l’épaisseur d est nettement plus faible que son diamètre est placé dans un porte-échantillon qui se trouve à l’intérieur d’un four maintenu à température constante. Une de ses faces est illuminée par des pulses (de l’ordre de la milliseconde) émis par un laser, ce qui assure un chauffage uniforme de la face avant. La température de la face arrière est mesurée, en fonction du temps, à l’aide d’un capteur de mesure infrarouge. En l’absence de pertes thermiques de l’échantillon, la température devrait augmenter de manière monotone. Dans une situation réelle, l’enregistreur mesurera un pic de température suivi d’un retour à la température du four. Le temps t nécessaire pour que la face arrière atteigne la moitié de la température de pic (par rapport à la température du four), permet de déterminer la diffusivité thermique suivant :

${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\frac {1{,}37\,d^{2}}{t\,\pi ^{2}}}}$

avec :

d : diamètre de l'échantillon (m)

t : temps caractéristique (s)

Il est alors possible de calculer la conductivité thermique grâce à la masse volumique et la chaleur spécifique.

La difficulté de cette technique réside dans le choix des paramètres de mesure optima (puissance du laser et épaisseur de l'échantillon).

Résistance thermique d'une paroi

En thermique du bâtiment, la valeur λ de la conductivité thermique entre dans le calcul de la résistance thermique d'une paroi.

Pour qualifier les matériaux hétérogènes au travers desquels la chaleur se propage en même temps par conduction, convection et rayonnement, la donnée de la conductivité thermique n'est pas suffisante. Pour les qualifier, on utilise une valeur de résistance thermique déduite d'essais en laboratoire.

Comme la conductivité thermique d'un matériau varie en fonction de la température et de l'humidité de celui-ci, les documentations technico-commerciales des matériaux doivent préciser, avec la valeur de λ, les conditions dans lesquelles cette valeur est obtenue. Cette valeur λ déclarée doit être éventuellement certifiée par un agrément technique.

D'autre part on opère une distinction entre λi, la conductivité thermique d'un matériau dans une paroi intérieure ou extérieure lorsque le matériau est protégé contre l'humidité due à la pluie ou à la condensation, et d'autre part λe, la conductivité thermique du même matériau non protégé contre cette humidité^[16].

Normes et règlements

En France, ont été promulguées des normes successives pour inciter les bâtisseurs à une isolation thermique maximale des bâtiments, notamment les normes RT 2000, RT 2005 et RT 2012.

Les conductivités thermiques des substances courantes varient sur au moins quatre ordres de grandeur^[17]. Les gaz ont généralement une faible conductivité thermique, tandis qu'elle est élevée pour les métaux purs. Par exemple, dans des conditions normales, la conductivité thermique du cuivre est plus de 10 000 fois supérieure à celle de l'air.

De tous les matériaux, les allotropes du carbone, tels que le graphite et le diamant, sont généralement considérés comme ayant les conductivités thermiques les plus élevées à température ambiante^[18]. La conductivité thermique du diamant naturel à température ambiante est plusieurs fois plus élevée que celle d'un métal hautement conducteur comme le cuivre (bien que la valeur précise varie en fonction du type de diamant)^[19].

Les conductivités thermiques de certaines substances sélectionnées sont répertoriées ci-dessous ; une liste étendue peut être trouvée dans la liste de conductivités thermiques. Ces valeurs sont des estimations illustratives seulement, car elles ne tiennent pas compte des incertitudes de mesure ou de la variabilité des définitions des matériaux.

Métaux

Les métaux ont des conductivités élevées, entre 20 et 418 watts par mètre-kelvin^[22].

Pierre naturelle

Les pierres naturelles employées dans la construction ont des valeurs de conductivité thermique entre 0,15 et 3,5 W m⁻¹ K⁻¹.

Terre

Bois

À densité et humidité égales, le bois résineux est plus conducteur que le bois feuillu. Plus un bois est dense, plus il est humide et plus il est conducteur.

Isolants

En termes de bâtiment, selon la norme française RT 2012, un matériau est considéré comme isolant si sa conductivité thermique est inférieure à 0,065 watt par mètre-kelvin^[27].

Dérivés du carbone

Si le diamant a une conductivité thermique très élevée, celle du diamant bleu naturel l’est plus encore. On peut donc examiner des gemmes pour déterminer si elles sont de véritables diamants en utilisant un appareil de contrôle de la conductivité thermique, un des instruments standard utilisés en gemmologie^{[réf. nécessaire]}.

En conséquence, les diamants de n'importe quelle taille paraissent toujours très froids au toucher en raison de leur effusivité thermique élevée.

Matériaux	Conductivité thermique (W m−1 K−1) à 20 °C
Carbone vitreux (1,5 g/cm3)	4[30]
Charbon de bois (0,2 g/cm3)	0,055[25]
Diamant	1 000-2 600
Graphène	4 000-5 300
Graphite sens ${\displaystyle \parallel }$ plans graphène	1 950[31]
Graphite sens ${\displaystyle \perp }$ plans graphène	5,7[31]
Graphite polycristallin	80[32]
Houille (1,35 g/cm3)	0,26[25]

Matériaux divers

Conductivité thermique des éléments en W cm⁻¹ K⁻¹ à 27 °C^[33]. Certaines valeurs manquantes sont disponibles sur l'article « Conductivité thermique des solides » sur le site techniques-ingenieur.fr^[2].