אינוולוציה (מתמטיקה)

מן ההגדרה נובע שאינוולוציות הן תמיד פעולות אונאריות חד-חד-ערכיות. כלומר הן תמורות על תמונתן. תמורה היא אינוולוציה אם ורק אם בפירוק שלה למחזורים זרים מופיעים רק חילופים ונקודות שבת.

מספר האינוולוציות שמוגדרות על קבוצה סופית של n איברים נקרא מספר־טלפון ה-n-י^[1]. מספרים אלו מקיימים את נוסחת הנסיגה:

${\displaystyle a_{0}=a_{1}=1}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}$

הוכחה: נניח ללא הגבלת הכלליות שהקבוצה היא ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ . יש ${\displaystyle a_{n-1}}$ אינוולוציות שבהן n נקודת שבת (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$ ). יש ${\displaystyle a_{n-2}}$ אינוולוציות שבהן n עובר ל-${\displaystyle k\neq n}$ (כל אינוולוציה כזו מתאימה לאינוולוציה אחת על ${\displaystyle \{1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,n-1\}}$ ). יש ${\displaystyle n-1}$ ערכים אפשריים ל-${\displaystyle k\neq n}$ .

מספרי־הטלפון הראשונים הם: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496.

• פונקציית הזהות היא אינוולוציה באופן טריוויאלי.
• הפונקציות הממשיות ${\displaystyle -x}$ ו-${\displaystyle x^{-1}}$ . אלו דוגמאות פרטיות לפעולת לקיחת הופכי בחבורה, שהיא תמיד אינוולוציה.
• באופן כללי פונקציה ממשית היא אינוולוציה אם ורק אם הגרף שלה סימטרי ביחס לישר y=x.
• פעולת ההצמדה של מספר מרוכב ופעולת השחלוף ופעולת הצמדה של מטריצה. אינוולוציות אלה הן במובן של תורת החוגים.
• מבין האיזומטריות של המישור האינוולוציות הן: פונקציית הזהות, כל שיקוף וכל סיבוב של 180 מעלות.
• פעולת השלילה בלוגיקה היא אינוולוציה. באופן דומה, כך גם פעולת המשלים בתורת הקבוצות. באופן כללי יותר, פעולת המשלים באלגברה בוליאנית היא אינוולוציה.
• הצפנה באמצעות מכונת אניגמה היא אינוולוציה – תהליך הפענוח של טקסט מתבצע על ידי הפעלה חוזרת של המכונה על הטקסט המוצפן.

• אינוולוציה, באתר MathWorld (באנגלית)