במתמטיקה , אי-שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרת מספרים סופית. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית , ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את האי-שוויון הוכיח אוגוסטן לואי קושי , וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.
לכל קבוצת מספרים ממשיים חיוביים a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} מתקיים
n 1 a 1 + ⋯ + 1 a n ≤ a 1 ⋯ a n n ≤ a 1 + ⋯ + a n n ≤ a 1 2 + ⋯ + a n 2 n {\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}} הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי .הממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני . הממוצע החשבוני קטן או שווה לשורש ממוצע הריבועים . בשלושת המקרים לא מתקיים שוויון , אלא אם כל המספרים a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} שווים זה לזה.
רקע אם a 1 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}} מספרים חיוביים, הרי
הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב- n {\displaystyle n} : A n = a 1 + ⋯ + a n n {\displaystyle A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}} הממוצע ההנדסי הוא השורש ה- n {\displaystyle n} -י של מכפלתם: G n = a 1 ⋯ a n n {\displaystyle G_{n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}} הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: H n = n 1 a 1 + ⋯ + 1 a n {\displaystyle H_{n}={\frac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}} שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע ", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} .
במקרה n = 2 {\displaystyle n=2} טענה זו קובעת כי 2 1 a + 1 b ≤ a b ≤ a + b 2 {\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}\leq {\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}} , ושוויון מתקיים אם ורק אם a = b {\displaystyle a=b} .
הוכחות המקרה n = 2 הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n = 2. באדום הממוצע החשבוני של a , b {\displaystyle a,b} , בתכלת הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:
0 ≤ ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 − 4 a b = ( a + b ) 2 − 4 a b 4 a b ≤ ( a + b ) 2 G 2 = a b ≤ a + b 2 = A 2 {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq (a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}-4ab\\&=(a+b)^{2}-4ab\\4ab&\leq (a+b)^{2}\\G_{2}&={\sqrt {ab}}\leq {\frac {a+b}{2}}=A_{2}\end{aligned}}} קל לראות כי H 2 A 2 = G 2 2 {\displaystyle H_{2}A_{2}=G_{2}^{2}} ולכן משום ש- G 2 ≤ A 2 {\displaystyle G_{2}\leq A_{2}} בהכרח H 2 ≤ G 2 {\displaystyle H_{2}\leq G_{2}} .
הוכחתו של קושי קושי הוכיח את האי-שוויון G n ≤ A n {\displaystyle G_{n}\leq A_{n}} בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה":
ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות n {\displaystyle n} מספרים, אזי הוא מתקיים לסדרות בנות 2 n {\displaystyle 2n} מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות 2 m {\displaystyle 2^{m}} מספרים, לכל m {\displaystyle m} . בנוסף לכך, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים אזי הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מחזקה של שתיים כלשהי, ההוכחה הושלמה.
הצעד הראשון : נניח כי האי-שוויון מתקיים לכל a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} חיוביים. אז
a 1 + ⋯ + a 2 n 2 n = a 1 + ⋯ + a n + a n + 1 + ⋯ + a 2 n 2 n = a 1 + ⋯ + a n n + a n + 1 + ⋯ + a 2 n n 2 ≥ a 1 ⋯ a n n + a n + 1 ⋯ a 2 n n 2 ≥ a 1 ⋯ a n n ⋅ a n + 1 ⋯ a 2 n n = a 1 ⋯ a n ⋅ a n + 1 ⋯ a 2 n n = a 1 ⋯ a 2 n 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}&={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}\\\\&={\frac {{\dfrac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\dfrac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}}{2}}\\\\&\geq {\frac {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}+{\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}{2}}\\\\&\geq {\sqrt {{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}}\\\\&={\sqrt {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}\cdot a_{n+1}\cdots a_{2n}}}}\\\\&={\sqrt[{2n}]{a_{1}\cdots a_{2n}}}\end{aligned}}} כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n {\displaystyle n} , והשני מן המקרה n = 2 {\displaystyle n=2} .
הצעד השני : נניח כי האי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n {\displaystyle n} ; אם נתונים a 1 , … , a m {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}} כאשר m < n {\displaystyle m<n} , נסמן a = a 1 + ⋯ + a m m {\displaystyle a={\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}}{m}}} ונקבל
a 1 ⋯ a m ⋅ a n − m n ≤ a 1 + ⋯ + a m + ( n − m ) a n = a {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{m}\cdot a^{n-m}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{m}+(n-m)a}{n}}=a} ולכן a 1 ⋯ a m m ≤ a {\displaystyle {\sqrt[{m}]{a_{1}\cdots a_{m}}}\leq a} .
את האי-שוויון H n ≤ G n {\displaystyle H_{n}\leq G_{n}} אפשר להוכיח בדרך דומה.
ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי
f ( x 1 + ⋯ + x n n ) ≤ f ( x 1 ) + ⋯ + f ( x n ) n {\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}} לכל פונקציה f {\displaystyle f} קמורה . אם משתמשים בפונקציה exp , ומציבים x i = ln ( a i ) {\displaystyle x_{i}=\ln(a_{i})} , מתקבל
a 1 ⋯ a n n ≤ a 1 + ⋯ + a n n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}} הממוצע הלוגריתמי הכללות אחת ההכללות החשובות לאי־שוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב a k {\displaystyle a_{k}} מספר פעמים, למשל p k {\displaystyle p_{k}} .
אם a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} חיוביים ו- p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}} שלמים חיוביים וסכומם P {\displaystyle P} , אז האי-שוויון הופך להיות
P p 1 a 1 + ⋯ + p n a n ≤ a 1 p 1 ⋯ a n p n P ≤ p 1 a 1 + ⋯ + p n a n P {\displaystyle {\frac {P}{{\dfrac {p_{1}}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {p_{n}}{a_{n}}}}}\leq {\sqrt[{P}]{a_{1}^{p_{1}}\cdots a_{n}^{p_{n}}}}\leq {\frac {p_{1}a_{1}+\cdots +p_{n}a_{n}}{P}}} באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים p k {\displaystyle p_{k}} במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם P = 1 {\displaystyle P=1} . כאשר כל המקדמים שווים ל- 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} מתקבל אי־שוויון הממוצעים.
בנוסף, ישנן הכללות לאי-שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות: ∑ x i α n α {\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{\sum {\frac {x_{i}^{\alpha }}{n}}}}} זו פונקציה עולה ביחס ל- α {\displaystyle \alpha } , כאשר x i {\displaystyle x_{i}} אי-שליליים. אי-שוויון הממוצעים מתקבל כאשר α = 1 {\displaystyle \alpha =1} הפונקציה גדולה יותר מכאשר α → 0 + {\displaystyle \alpha \to 0^{+}} .
קישורים חיצוניים