ערך עצמי

יהי ${\displaystyle V}$ מרחב וקטורי ותהא ${\displaystyle T\colon V\to V}$ העתקה ליניארית.אם קיים וקטור ${\displaystyle v\in V}$ השונה מאפס וסקלר ${\displaystyle \lambda }$ כך ש-${\displaystyle T(v)=\lambda v}$ , אזי נקרא ל־${\displaystyle \lambda }$ ערך עצמי (eigenvalue) של ${\displaystyle T}$ , ול־${\displaystyle v}$ נקרא וקטור עצמי (eigenvector) של ${\displaystyle T}$ השייך לערך העצמי ${\displaystyle \lambda }$ .

בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי ${\displaystyle A}$ מטריצה ריבועית מסדר ${\displaystyle n}$ מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ויהי ${\displaystyle v\in \mathbb {F} ^{n}}$ וקטור השונה מאפס.

אם קיים סקלר ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }$ כך ש-${\displaystyle Av=\lambda v}$ , אז ${\displaystyle v}$ יקרא וקטור עצמי של ${\displaystyle A}$ השייך לערך העצמי ${\displaystyle \lambda }$ .

עבור מטריצה ${\displaystyle A}$ אשר מוכפלת בווקטור ${\displaystyle v}$ , אם התוצאה היא אותו הוקטור (${\displaystyle v}$ ), רק מוכפל בסקלר דהיינו ${\displaystyle Av=\lambda v}$ , כפי שתואר לעיל, ניתן לכנות את הווקטור וקטור עצמי של המטריצה ${\displaystyle A}$ , ואת ${\displaystyle \lambda }$ ערך עצמי של המטריצה. על מנת למצוא את הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר ${\displaystyle \lambda }$ , ניתן לבטא את ${\displaystyle \lambda }$ בצורה מטריציונית באמצעות הכפלתו במטריצת היחידה ${\displaystyle I}$ כך שהשוויון נשמר: ${\displaystyle Av=\lambda Iv}$ . העברת אגפים וקיבוץ הגורמים המוכפלים ב-${\displaystyle v}$ מובילים למשוואה הבאה: ${\displaystyle \left(A-\lambda I\right)v={\boldsymbol {0}}}$ , אשר מייצגת מערכת משוואות הומוגנית. פתרון המערכת הזו תוביל למציאת הערכים העצמיים של ${\displaystyle A}$ , אם קיימים. למשוואה זו יהיה פתרון שאינו טריוויאלי (כלומר, ${\displaystyle v\neq {\boldsymbol {0}}}$ ) אם ורק אם הדטרמיננטה של אגף שמאל תהיה שווה לאפס ${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\boldsymbol {0}}}$ .

אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של ${\displaystyle \lambda }$ , והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים, אז ${\displaystyle \,\lambda }$ הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן).

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי-תלויים ליניארית זה בזה.

לעיתים קרובות, משתמשים בקיצור ו"ע עבור "וקטור עצמי", וכן בקיצור ע"ע עבור "ערך עצמי".

מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא, למעשה, ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה ${\displaystyle \left(A-\lambda I\right)v=0}$ . הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה.

ערכים עצמיים מסייעים להצגת העתקות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית בתהליכי לכסון מטריצות.

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים.

• השיטה התאורטית הנפוצה ביותר היא באמצעות הפולינום האופייני של המטריצה, שכן הערכים העצמיים הם שורשיו.
• שיטה להערכה של הערכים העצמיים מבלי למצוא אותם במדויק נתונה על ידי עיגולי גרשגורן.

הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי הבסיס הסטנדרטי הם וקטורים עצמיים שלה.

• למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
• סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה.
• מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה.

שיטות נומריות

עבור מטריצות מסדר גבוה הפולינום האופייני עשוי להיות ממעלה חמישית ויותר. נילס הנריק אבל ופאולו רופיני הראו כי לא קיים פתרון אלגברי כללי למשוואות כאלו (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות), ולכן במקרים כאלו נהוג להשתמש בשיטות נומריות המבוססות על שיטות איטרטיביות. שיטות אלה מחשבות קירוב לערכים העצמיים ולוקטורים העצמיים, אבל הקירוב יכול להיות בכל דיוק רצוי. אחת השיטות הנומריות הראשונות שהוצעו למציאת ערכים עצמאיים היא אלגוריתם QR.

אלגוריתמים נפוצים למציאת ערכים עצמיים

אלגוריתם	קלט	פלט	תיאור	שלב אתחול	שלב עדכון
שיטת החזקה	מטריצה כללית	הערך העצמי הגדול והווקטור העצמי המתאים לו	מתחילים מווקטור שרירותי, שאותו מכפילים במטריצה ומנרמלים עד להתכנסות.	${\textstyle b_{0}}$ שרירותי	${\textstyle b_{k+1}={\frac {Ab_{k}}{\|Ab_{k}\|}}}$
שיטת החזקה ההפוכה	מטריצה כללית ומספר ${\textstyle \lambda }$ (קירוב לערך העצמי המבוקש)	הערך העצמי הקרוב ביותר ל${\textstyle \lambda }$ ואת הווקטור העצמי המתאים לו	מפעילים את שיטת החזקה על ${\textstyle (A-\lambda I)^{-1}}$
אלגוריתם QR[1]	מטריצה כללית (יעיל יותר על מטריצת הסנברג)	כל הערכים והווקטורים העצמיים	מבוסס על איטרציות שבכל שלב מוצאים פירוק QR של ${\textstyle A_{k}=Q_{k}R_{k}}$ (‏${\textstyle Q_{k}}$ היא מטריצה אורתוגונלית ו-${\textstyle R_{k}}$ היא מטריצה משולשית עליונה). תחת תנאים מסוימים מתכנסים לפירוק שור והערכים העצמיים מצויים על האלכסון של המטריצה המשולשית.	${\textstyle A=Q_{1}R_{1}}$	${\textstyle A_{k+1}=R_{k}Q_{k}}$
איטרציות יעקובי	מטריצה סימטרית ממשית	כל הערכים והווקטורים העצמיים	בכל איטרציה מצמידים את המטריצה במטריצה אוניטרית כך שסכום רבועי האיברים שמחוץ לאלכסון יקטן, וכך מלכסנים את המטריצה
אלגוריתם לנצוש	מטריצה סימטרית או מטריצה הרמיטית ומספר האטרציות	חלק מהערכים העצמיים
אלגוריתם ארנולדי	מטריצה כללית ומספר האטרציות	חלק מהערכים העצמיים	מקבילה של אלגוריתם לנצוש למטריצה כללית

ערך מורחב – ספקטרום של אופרטור

עבור אופרטורים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל ממד סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות ${\displaystyle t}$ בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל־${\displaystyle \ A-tI}$ . קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה הפונקציונלית.

• לכסון מטריצות
• משפט קיילי המילטון
• פולינום אופייני
• פולינום מינימלי
• צורת ז'ורדן
• משפט פרון-פרובניוס

• מחשבון ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים (בגרמנית)
• ערך עצמי, באתר MathWorld (באנגלית)
• ערך עצמי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)