הגדרה n + 1 פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n מוגדרים כך:
b ν , n ( x ) = ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν , ν = 0 , … , n . {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n.} כאשר ( n ν ) {\displaystyle {n \choose \nu }} הוא המקדם הבינומי .
פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n יוצרים בסיס למרחב הווקטורי Π n {\displaystyle \Pi _{n}} של פולינומים בדרגה של לכל היותר n .
צירוף ליניארי של פולינומי הבסיס של ברנשטיין,
B n ( x ) = ∑ ν = 0 n β ν b ν , n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)} נקרא פולינום ברנשטיין או פולינום בתצורת ברנשטיין מדרגה n . מקדמי β ν {\displaystyle \beta _{\nu }} נקראים מקדמי ברנשטיין או מקדמי בזייר .
דוגמה מספר פולינומי הבסיס הראשונים של ברנשטיין הם:
b 0 , 0 ( x ) = 1 , b 0 , 1 ( x ) = 1 − x , b 1 , 1 ( x ) = x b 0 , 2 ( x ) = ( 1 − x ) 2 , b 1 , 2 ( x ) = 2 x ( 1 − x ) , b 2 , 2 ( x ) = x 2 b 0 , 3 ( x ) = ( 1 − x ) 3 , b 1 , 3 ( x ) = 3 x ( 1 − x ) 2 , b 2 , 3 ( x ) = 3 x 2 ( 1 − x ) , b 3 , 3 ( x ) = x 3 b 0 , 4 ( x ) = ( 1 − x ) 4 , b 1 , 4 ( x ) = 4 x ( 1 − x ) 3 , b 2 , 4 ( x ) = 6 x 2 ( 1 − x ) 2 , b 3 , 4 ( x ) = 4 x 3 ( 1 − x ) , b 4 , 4 ( x ) = x 4 {\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\\b_{0,4}(x)&=(1-x)^{4},&b_{1,4}(x)&=4x(1-x)^{3},&b_{2,4}(x)&=6x^{2}(1-x)^{2},&b_{3,4}(x)&=4x^{3}(1-x),&b_{4,4}(x)&=x^{4}\end{aligned}}} תכונות לפולינומי הבסיס של ברנשטיין התכונות הבאות:
b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} , אם ν < 0 {\displaystyle \nu <0} או ν > n {\displaystyle \nu >n} . b ν , n ( 0 ) = δ ν , 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}} ו b ν , n ( 1 ) = δ ν , n {\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}} כאשר δ {\displaystyle \delta } היא הדלתא של קרונקר . b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} יש שורש עם כפילות ν {\displaystyle \nu } בנקודה x = 0 {\displaystyle x=0} (הערה: אם ν = 0 {\displaystyle \nu =0} , אין שורש ב-0). b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} יש שורש עם כפילות ( n − ν ) {\displaystyle \left(n-\nu \right)} בנקודה x = 1 {\displaystyle x=1} (הערה: אם ν = n {\displaystyle \nu =n} , אין שורש ב-1). b ν , n ( x ) ≥ 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0} עבור x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,\ 1]} . b ν , n ( 1 − x ) = b n − ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x)} .הנגזרת יכולה להיכתב כצירוף של שני פולינומים מדרגה נמוכה יותר: b ν , n ′ ( x ) = n ( b ν − 1 , n − 1 ( x ) − b ν , n − 1 ( x ) ) . {\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).} האינטגרל קבוע עבור n {\displaystyle n} נתון: ∫ 0 1 b ν , n ( x ) d x = 1 n + 1 ; ∀ ν = 0 , 1 … n {\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}};\forall \nu =0,1\dots n} אם n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} , אז b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} בעל מקסימום ייחודי מקומי באינטרוול [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,\ 1]} ב x = ν n {\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}} . המקסימום הנ"ל בעל הערך: ν ν n − n ( n − ν ) n − ν ( n ν ) . {\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.} פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n {\displaystyle n} יוצרים חלוקת יחידה : ∑ ν = 0 n b ν , n ( x ) = ∑ ν = 0 n ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν = ( x + ( 1 − x ) ) n = 1. {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.} אם לוקחים את האיבר הראשון של ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} כאשר y = 1 − x {\displaystyle y=1-x} , ניתן להראות כי ∑ ν = 0 n ν b ν , n ( x ) = n x {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx} האיבר השני ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} כאשר y = 1 − x {\displaystyle y=1-x} משמש להראות כי ∑ ν = 1 n ν ( ν − 1 ) b ν , n ( x ) = n ( n − 1 ) x 2 {\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}} A פולינום ברנשטיין ניתן להיכתב כקומבינציה ליניארית של פולינומים מדרגה גבוהה יותר: b ν , n − 1 ( x ) = n − ν n b ν , n ( x ) + ν + 1 n b ν + 1 , n ( x ) . {\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).} קירוב פונקציות רציפות נניח ש-ƒ פונקציה רציפה בקטע [0,1]. נבחן את פולינום ברנשטיין להלן:
B n ( f ) ( x ) = ∑ ν = 0 n f ( ν n ) b ν , n ( x ) . {\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).} ניתן להראות כי:
lim n → ∞ B n ( f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)(x)}=f(x)\,} מתכנס במידה שווה בקטע [0,1].[1] זו הצהרה חזקה יותר מאשר ההנחה שהגבול קיים בנפרד בכל ערך של x ; זו תהיה התכנסות נקודתית במקום התכנסות במידה שווה. באופן ספציפי, המילים "במידה שווה" מציינות:
lim n → ∞ sup { | f ( x ) − B n ( f ) ( x ) | : 0 ≤ x ≤ 1 } = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup \left\{\,\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|\,:\,0\leq x\leq 1\,\right\}=0.} פולינומי ברנשטיין לכן מאפשרים דרך אחת להוכיח את משפט הקירוב של ויירשטראס שכל פונקציה רציפה ממשית על הקטע הממשי [a ,b ] ניתנת להערכה במידה שווה על ידי פונקציות פולינום מעל R .[2]
טענה כללית יותר על פונקציה שגזירה ברציפות k פעמים היא:
‖ B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ ≤ ( n ) k n k ‖ f ( k ) ‖ ∞ and ‖ f ( k ) − B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ → 0 {\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }{\text{ and }}\left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0} כאשר בנוסף
( n ) k n k = ( 1 − 0 n ) ( 1 − 1 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) {\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)} הוא ערך עצמי של B n ; והפונקציה העצמית המקבילה היא פולינום מדרגה k .
הוכחה נניח ש-K משתנה מקרי המפוזר כמספר ההצלחות מתוך n ניסויי ברנולי בלתי תלויים, עם הסתברות x של הצלחה בכל ניסוי; במילים אחרות, k מתפלג בינומית עם פרמטרים n ו-x . מכאן שערך התוחלת E [ K / n ] = x {\displaystyle E\left[K/n\right]=x} .
בעזרת הגרסה החלשה של חוק המספרים הגדולים מתורת ההסתברות ,
lim n → ∞ P ( | K n − x | > δ ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0} לכל δ > 0 {\displaystyle \delta >0} . יתרה מכך, הקשר מתקיים במידה שווה ב-x , כפי שניתן להראות מההוכחה בעזרת אי-שוויון צ'בישב , אם לוקחים בחשבון שהשונות של K / n {\displaystyle K/n} , השווה ל- x ( 1 − x ) / n {\displaystyle x(1-x)/n} , חסומה מלמעלה על ידי 1 / 4 n {\displaystyle 1/4n} ללא תלות ב-x .
מכיוון ש-ƒ, הרציפה על תחום סגור וחסום, חייבת להיות רציפה במידה שווה על התחום, ניתן לנסח את הטענה כי
lim n → ∞ P ( | f ( K n ) − f ( x ) | > ε ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0} במידה שווה ב-x . אם לוקחים בחשבון ƒ חסום (בקטע נתון), ניתן לצפות ל:
lim n → ∞ E ( | f ( K n ) − f ( x ) | ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{E\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0} במידה שווה ב-x . כאן אפשר לראות כי התוחלת מתחלקת לשני חלקים. בחלק אחד ההפרש אינו עולה על ε; חלק זה יכול לתרום יותר מאשר ε. בעל החלק השני ההפרש עולה על ε, אך אינו עולה על 2M , כאשר M מהווה חסם עליון ל-|(ƒ (x)|; חלק זה אינו יכול לתרום יותר מ-2M פעמים את ההסתברות הקטנה כי ההפרש גדול מ-ε.
לסיכום, ראינו כי הערך המוחלט של ההפרש בין התוחלות לא עולה אף פעם על התוחלת של הערך המוחלט של ההפרש, וכן כי E [ f ( K / n ) ] {\displaystyle E\left[f\left(K/n\right)\right]} הוא בדיוק פולינום ברנשטיין B n ( f ) ( x ) {\displaystyle B_{n}(f)(x)} .
ראו לדוגמה.[3]
ראו גם קישורים חיצוניים הערות שוליים