Bernsteinpolynom

Eit polynom av grad n kan skildrast som:

${\displaystyle f(t)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}t^{i}}$

Altså ein lineærkombinasjon av den monomielle basisen, som er mengda av desse basisfunksjonane ${\displaystyle t^{i}}$ for alle ${\displaystyle i=\{0,\cdots ,n\}}$ . Vektorrommet for alle polynom av grad n er utspent av denne basisen. Det finst ein alternativ basis for dette vektorrommet som er gjeven ved bernsteinbasispolynoma ${\displaystyle B_{i}^{n}(t)}$ for alle ${\displaystyle i=\{0,\cdots ,n\}}$ . Eit polynom ${\displaystyle p(t)}$ uttrykt ved denne basisen er kjent som eit bernsteinpolynom:

${\displaystyle p(t)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}B_{i}^{n}(t)}$

${\displaystyle p(t)}$ er her eit bernsteinpolynom, definert som ein lineærkombinasjon av bernsteinbasispolynoma ${\displaystyle B_{i}^{n}(t)}$ for alle ${\displaystyle i=\{0,\cdots ,n\}}$ og ${\displaystyle c_{i}}$ -ane er kjende som kontrollpunkt. Kontrollpunkta avgjer indirekte forma til polynomet.

Bernsteinbasispolynom er definerte som:

${\displaystyle B_{i}^{n}(t)={\binom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}}$

Desse er lineært uavhengige. Dei første frå ${\displaystyle B_{0}^{0}(t)}$ til ${\displaystyle B_{3}^{3}}$ er:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}^{0}(t)&=1,\\B_{0}^{1}(t)&=1-t,&B_{1}^{1}(t)&=t\\B_{0}^{2}(t)&=(1-t)^{2},&B_{1}^{2}(t)&=2t(1-t),&B_{2}^{2}(t)&=t^{2}\\B_{0}^{3}(t)&=(1-t)^{3},&B_{1}^{3}(t)&=3t(1-t)^{2},&B_{2}^{3}(t)&=3t^{2}(1-t),&B_{3}^{3}(t)&=t^{3}\end{aligned}}}$

Eigenskapar hjå bernsteinbasispolynom

Derivert

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}B_{k}^{n}(t)=n\left(B_{k-1}^{n-1}(t)-B_{k}^{n-1}(t)\right)}$

Rekursjonsformel

Bernsteinbasispolynom tilfredsstiller den følgjande rekursjonsformelen:

${\displaystyle B_{i}^{n}(t)=tB_{i-1}^{n-1}(t)+(1-t)B_{i}^{n-1}(t)}$

Som følgjer frå at ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}}$

• Bezier-kurve