Viriáltétel
A mechanikában a viriáltétel általános összefüggést ad valamely, helyzeti erők által határolt, N részecskét tartalmazó stabil rendszer időbeli átlagos teljes kinetikus energiája () és időbeli átlagos teljes helyzeti energiája () között (a szögletes zárójelek a zárójelben lévő mennyiség időbeli átlagát jelölik). Matematikailag az elmélet állítása:
ahol Fk a k-ik részecskére ható erő, mely az rk pozícióban van.
A ’viriál’ szó a latin 'vis'-ből származik, mely erőt, vagy energiát jelent.A definíciót Rudolf Clausius német fizikus adta meg 1870-ben.[1]A viriáltétel jelentősége az, hogy lehetővé teszi az átlagos kinetikus energia kiszámítását, még komplikált rendszerek esetén is, amikor a statisztikai mechanika módszereivel ez nem oldható meg.Ez az átlagos, és teljes kinetikus energia az ekvipartíció-tételhez hasonlóan kapcsolódik a rendszer hőkapacitásához.A viriáltétel akkor is érvényes, ha egy rendszer nincs termikus egyensúlyi állapotban. A viriáltételt sokféleképpen szokták általánosítani, a legjobban ismert eljárás, a tenzoros forma.Ha egy rendszerben két részecske között ható erő a potenciális energiából V(r) = αr n származik, akkor ez arányos a részecskék közötti átlagos távolsággal r, és felírhatjuk az elmélet egyszerűbb formuláját:
Vagyis a teljes átlagos kinetikus energia kétszerese egyenlő az átlagos teljes helyzeti energia n-szeresével .A V(r), két részecske közötti helyzeti energia, VTOT a rendszer teljes helyzeti energiája, azaz, a V(r), helyzeti energiák szummája, az összes részecskepárra vonatkozik. Egy példa az ilyen rendszerekre a csillag, melyet saját gravitációja tart össze, ahol n egyenlő −1.
Definíciók
N számú részecske esetén az I a tehetetlenség skalár momentuma (lendülete):
ahol mk és rk jelölik a k-ik részecske tömegét és pozícióját. . rk=|rk| a vektor pozíció vektor nagyságrendje.A skalár viriális G:
ahol pk a k –ik részecske momentum vektora.Feltételezve, hogy a tömegek állandóak, a viriális G, fele a tehetetlenségi momentum idő szerinti deriváltja
fordítva:
ahol mk a k-ik részecske tömege, a tiszta erő, mely a részecskére hat, és T a rendszer teljes kinetikus energiája:
Általánosítás
1903-ban Lord Rayleigh publikált egy általánosítást a viriáltételre.[2]Henri Poincaré a kozmológia stabilitással kapcsolatban használta a viriáltétel egy képletét.[3]Ledoux, 1945-ben fejlesztett ki egy változatot az elméletre.[4] Egy tenzoros formulát fejlesztett Parker.[5] Chandrasekhar[6] és Fermi.[7]Pollard 1964-ben publikálta a viriális elmélet általánosítását az inverz négyzetes törvény esetére :[8][9] igaz, és csak akkor igaz, ha .[10]
Az elektromágneses tér és a viriáltétel
A viriáltétel kiterjeszthető az elektromágneses térre.[11]Az eredmény:
ahol I a tehetetlenségi momentum, a G az elektromágneses tér momentum sűrűsége, T a folyadék kinetikus energiája, U a részecskék véletlenszerű termikus energiája, WE és WM az elektromos – és elektromágneses energiák.pik a folyadék-nyomás tenzor, a lokális mozgó koordináta-rendszerben kifejezve.
és Tik az elektromágneses nyomás tenzor,
A plazmoid, a mágneses tér és a plazma végső konfigurációja. A viriáltétel alapján könnyen belátható, hogy ilyen konfiguráció létrejöhet, ha nem éri külső erőhatás.Nyomás nélkül a felületi integrál eltűnik az ilyen végső konfigurációnál.. Mivel az összes jobb oldali kifejezés pozitív, a tehetetlenségi momentum gyorsulása szintén pozitív lesz.A kiterjedési időt is egyszerű megjósolni τ. Ha a teljes tömeget, M egy R átmérő korlátozza, akkor a tehetetlenségi momentum nagyjából MR2, és a bal oldal MR2/τ2.A jobb oldali kifejezések összeadódnak közel pR3-é, ahol p a nagyobb plazma nyomás vagy mágneses nyomás.E kettő kifejezést egyenlővé téve, és megoldva τ-re, kapjuk:
ahol cs az ion-akusztikus hullám (vagy Alfvén-hullám, ha a mágneses nyomás magasabb,mint a plazma nyomás) sebessége.Így a plazmoid várható élettartama az akusztikus vagy Alfvén-hullám átmeneti ideje lesz.
Asztrofizika
A viriáltételt gyakran alkalmazzák az asztrofizikában, különösen a gravitációs helyzeti energia, és a kinetikus-, vagy termikus energia összefüggésében.Egy általános viriális összefüggés: ,ahol , a tömeg, ,az átmérő , a sebesség, és , a hőmérséklet A konstansok:Gravitációs állandó: , Boltzmann-állandó: ,Proton tömege: .
Galaxisok és kozmológia
Az asztronómiában, a galaxisok méretét és tömegét gyakran a „viriális átmérő”, és a „viriális tömeg” kifejezéseivel határozzák meg.A galaxisok méreteit igen nehéz meghatározni. A viriáltétel gyakran kényelmes módszert ad ezen mennyiségek maghatározására.A galaxisok dinamikájába, a tömeg meghatározása gyakran a gázok és csillagok forgási sebességével történik, feltételezve a kepleri pályákat.A viriáltételt alkalmazva felhasználható a sebesség diszperzió, .Ha vesszük a részecskénti kinetikus energiát, T = (1/2) v2 ~ (3/2) M 2, és a potenciális energiát: U ~ (3/5)(GM/R), irhatjuk: .Itt az az átmérő, , az átmérőn belüli tömeg.A viriális tömeget, és átmérőt általában arra az átmérőre határozzák meg, ahol a sebesség diszperzió maximum: .Ezek az összefüggések nagyságrendi információt adnak.Egy alternatív meghatározás:Mivel az átmérőt igen nehéz megfigyelni, gyakran közelítik úgy, hogy a sűrűség nagyobb egy specifikus tényezővel, mint a kritikus sűrűség, , ahol a a Hubble-paraméter, és a a gravitációs állandó.Egy általánosan használt tényező a 200.Így a viriális tömeg az átmérőhöz képest: .
Irodalom
- Collins, G. W: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. (hely nélkül): Pachart Press. 1978.
További információk
Kapcsolódó szócikkek
- Plazma
- Plazmoid
- Hubble-paraméter
- Alfvén-hullám
- Hőkapacitás
Jegyzetek
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Virial theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.