ビリアル定理 (ビリアルていり、英 : virial theorem )とは、多粒子系において、粒子 が動き得る範囲が有限 である場合に、古典力学 、量子力学 系のいずれにおいても成立する以下の関係式のことである。
⟨ K ⟩ = ⟨ ∑ i = 1 N p i 2 2 m i ⟩ = ∑ i = 1 N ⟨ p i 2 2 m i ⟩ = − 1 2 ∑ i = 1 N ⟨ F i ⋅ r i ⟩ {\displaystyle \left\langle K\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{N}{\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left\langle {\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}\right\rangle =-{1 \over 2}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}\right\rangle } N は系の粒子数、K は系 全体の運動エネルギー
K = ∑ i = 1 N p i 2 2 m i {\displaystyle K=\sum _{i=1}^{N}{\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}} で、p i は粒子 i の運動量 、r i は粒子 i の位置 座標、F i は粒子 i に働く力 、mi は粒子 i の質量 である。〈·〉 は物理量 の平均操作(ここでは長時間平均)を意味する。
粒子 i に働く力 F i が、系全体のポテンシャルエネルギー V = V (r 1 , ..., r N ) を用いて F i = −∇r i V (r 1 , ..., r i , ..., r N ) と表せるならば、ビリアル定理は、
⟨ K ⟩ = 1 2 ∑ i = 1 N ⟨ ∇ r i V ⋅ r i ⟩ {\displaystyle \left\langle K\right\rangle ={1 \over 2}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \nabla _{\mathbf {r} _{i}}V\cdot \mathbf {r} _{i}\right\rangle } という形で表せる。
ポテンシャルエネルギー V が中心力ポテンシャル で、粒子間の距離のn + 1 乗に比例する形
V ( r ) = a r n + 1 ( r = | r | ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )=ar^{n+1}\quad (r=|\mathbf {r} |)} で表せる(ここでべき指数は力の法則が r n {\displaystyle r^{n}} になるように選んだ)ならば、
⟨ K ⟩ = n + 1 2 ⟨ V ⟩ {\displaystyle \left\langle K\right\rangle ={n+1 \over 2}\left\langle V\right\rangle } となる。中心力が電磁気力 や重力 の場合を考えると、n = −2 であるから、
⟨ K ⟩ = − 1 2 ⟨ V ⟩ {\displaystyle \left\langle K\right\rangle =-{1 \over 2}\left\langle V\right\rangle } となる。ビリアル定理から次のことが言える。
系全体の運動エネルギー K の時間平均は、系全体のポテンシャルエネルギー V の時間平均の −1 / 2 に等しい。 また、同等のこととして、
系全体のポテンシャルエネルギー V の時間平均は、系全体の全エネルギーの時間平均に等しい。 系全体の運動エネルギー K の時間平均と系全体の全エネルギーの時間平均を加えた物は 0 。 ということが示される。
ビリアル とはラテン語で「力」という意味であり、ビリアル定理の名はそれに因む。ビリアル定理におけるビリアルとは、1870年 にルドルフ・クラウジウス が導入した量で、各粒子の位置と運動量のドット積 の総和 G = ∑i r i · p i によって定義される G を指す。
証明 古典力学 系の場合のビリアル定理の証明。ビリアル
G = ∑ i r i ⋅ p i {\displaystyle G=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {p} _{i}}
()
を時間 で微分 すると、
d G d t = ∑ i d r i d t ⋅ p i + ∑ i r i ⋅ d p i d t = ∑ i p i m i ⋅ p i + ∑ i r i ⋅ F i = 2 K + ∑ i r i ⋅ F i {\displaystyle {{dG} \over {dt}}=\sum _{i}{{d\mathbf {r} _{i}} \over {dt}}\cdot \mathbf {p} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot {{d\mathbf {p} _{i}} \over {dt}}=\sum _{i}{\mathbf {p} _{i} \over m_{i}}\cdot \mathbf {p} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}=2K+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}} より以下の関係が得られる。
d G d t = 2 K + ∑ i r i ⋅ F i . {\displaystyle {{dG} \over {dt}}=2K+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}.}
()
この式の両辺を 0 から時間 t の範囲で積分 して t で割り、t → ∞ の極限 をとって長時間平均する。すると、粒子が動き得る範囲は有限なのでビリアル G も有限だから、左辺は 0 に収束する。
lim t → ∞ 1 t ∫ 0 t d G d t d t = lim t → ∞ G ( t ) − G ( 0 ) t = 0. {\displaystyle \lim _{t\to \infty }{{1 \over t}\int _{0}^{t}{{dG} \over {dt}}}dt=\lim _{t\to \infty }{G(t)-G(0) \over t}=0.}
()
したがって、
0 = 2 ⟨ K ⟩ + ⟨ ∑ i r i ⋅ F i ⟩ {\displaystyle 0=2\left\langle K\right\rangle +\left\langle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}\right\rangle } つまり、ビリアル定理
⟨ K ⟩ = − 1 2 ⟨ ∑ i r i ⋅ F i ⟩ {\displaystyle \left\langle K\right\rangle =-{1 \over 2}\left\langle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}\right\rangle }
を得る。次に、ポテンシャルエネルギー V が中心力 ポテンシャルで、粒子間の距離の n + 1 乗 (r n + 1 ) に比例する形、すなわち、系のポテンシャル V が各粒子対の相互作用の和
V ( r 1 , ⋯ , r N ) = ∑ i < j a i j | r i − r j | n + 1 = 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N a i j | r i − r j | n + 1 {\displaystyle V(\mathbf {r} _{1},\cdots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{i<j}a_{ij}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{n+1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{ij}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{n+1}}
()
によって書き表される場合、粒子 i に働く力 F i は、以下のように書ける。
F i = − ∇ r i V = − a i j ( n + 1 ) ∑ j ≠ i ( r i − r j ) | r i − r j | n − 1 = ∑ j ≠ i F i j {\displaystyle \mathbf {F} _{i}=-\nabla _{\mathbf {r} _{i}}V=-a_{ij}(n+1)\sum _{j\neq i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{n-1}=\sum _{j\neq i}\mathbf {F} _{ij}}
()
ここで、
F i j = − a i j ( n + 1 ) ( r i − r j ) | r i − r j | n − 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{ij}=-a_{ij}(n+1)(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{n-1}}
()
は、粒子 j から粒子 i に働く力である。これを、ビリアル定理の右辺 に代入すると、以下のようになる。
− 1 2 ⟨ ∑ i r i ⋅ F i ⟩ = − 1 2 ⟨ ∑ i ≠ j r i ⋅ F i j ⟩ . {\displaystyle -{1 \over 2}\left\langle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}\right\rangle =-{1 \over 2}\left\langle \sum _{i\neq j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ij}\right\rangle .}
()
和は i = 1, ..., N ; j = 1, ..., N 、i ≠ j の2重の和である。この和を i > j と i < j に分け、
∑ i ≠ j r i ⋅ F j i = ∑ i > j r i ⋅ F j i + ∑ i < j r i ⋅ F j i {\displaystyle \sum _{i\neq j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}=\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}+\sum _{i<j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}} 第 2 項で添え字の入れ替えに対する反対称性 F ji = −F ij に注意すると、以下の様な形になる。
= ∑ i > j r i ⋅ F j i + ∑ j < i r j ⋅ F i j = ∑ i > j r i ⋅ F j i − ∑ j < i r j ⋅ F j i = ∑ i > j ( r i − r j ) ⋅ F j i = − ( n + 1 ) V ( r 1 , ⋯ , r N ) . {\displaystyle =\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}+\sum _{j<i}\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {F} _{ij}=\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}-\sum _{j<i}\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {F} _{ji}=\sum _{i>j}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\cdot \mathbf {F} _{ji}=-(n+1)V(\mathbf {r} _{1},\cdots ,\mathbf {r} _{N}).}
したがって、中心力ポテンシャルに関するビリアル定理は以下のようになる。
⟨ K ⟩ = n + 1 2 ⟨ V ⟩ . {\displaystyle \left\langle K\right\rangle ={n+1 \over 2}\left\langle V\right\rangle .}
()
応用 ビリアル定理を太陽系 や銀河 を始めとする、非常に複雑な物理体系(重力多体系 )に適用することにより、計算結果を簡素化することができるので非常に便利である。
また、ビリアル定理が成り立つ場合、次式から系の圧力 を求めることができる。
P = 1 3 V ( 2 ⟨ K ⟩ + ∑ i = 1 N ⟨ F i ⋅ r i ⟩ ) {\displaystyle P={1 \over {3V}}(2\left\langle K\right\rangle +\sum _{i=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}\right\rangle )} ここで、P は圧力 、V は系の体積 である。気体分子運動論 では上式から圧力を求める。
一般化 一般化されたビリアル定理を、超ビリアル定理 (hypervirial theorem) と言う。座標 r と共役運動量 P を考え、この 2 つの量を変数とした関数 W (r , P ) を考える。この関数は、冒頭での粒子系と同様な境界条件 の基で任意に選べるとする。ハミルトニアン を H として、ポアソン括弧 (詳細はハミルトン力学 を参照)の時間平均、
⟨ [ W , H ] ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle [W,H]\right\rangle =0} となるのが古典的な超ビリアル定理である。量子力学では、上記交換子 の基底状態 における期待値 がゼロとなる。
⟨ 0 | [ W , H ] | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle 0|[W,H]|0\right\rangle =0} これが量子力学的な超ビリアル定理である。ここで、W として上記のビリアルをとる。すなわち、
W = r ⋅ P {\displaystyle W=\mathbf {r} \cdot \mathbf {P} } とすれば、通常のビリアル定理が導かれる。
関連項目