O teorema do virial estabelece que a energia cinética média de um sistema de partículas é igual ao seu virial para os casos em que o valor médio de G seja constante, ou seja, :[1]
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Considere-se a seguinte quantidade física:
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Nessa expressão e são, respectivamente, o vetorposição e o vetor momento linear da k-ésima partícula de um sistema de partículas. O virial de um conjunto de partículas é definido de tal forma que
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O símbolo representa a média temporal da grandeza por ele encerrada ao longo do intervalo de tempo adequado à situação, tipicamente o período de oscilação em movimentos periódicos.
A expressão "virial" deriva do latim, vis, viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius em 1870.
Uma das grandes utilidades do teorema do virial se deve ao fato de que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística.Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema da equipartição, a equação de Clapeyron para os gases ideais ou mesmo para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.
Aqui, representa a massa da -ésima partícula, é a força líquida atuando sobrea partícula e é a energia cinética total do sistema.
A média desta derivada no intervalo de tempo é definida como:
Assim, tomando a média dos dois lados da expressão para a derivada de G com relação ao tempo, temos:
Da expressão acima segue-se que, se, então
Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,
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Uma razão frequentemente citada se aplica a sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas.Nesse caso, o virial está normalmente entre dois valores extremos, e , e a média vai a zero para olimite de tempos muitos longos
Mesmo se a média da derivada temporal é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.
Assim, quando a média da derivada temporal de G anula-se,
a qual é igual e oposta a ,a força aplicada pela partícula sobre a partícula ,como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporaldo virial é
Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias,e também para sistemas eletrostáticos, para os quais , também.
Um plasmoide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver quequalquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita semparedes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termosdo lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimaro tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raioR, então o momentum de inérciaé aproximadamente MR2, e o lado esquerdo do teorema do virial é MR2/τ2.Os termos no lado direito somam até cerca de pR3, onde p é o maior entre a pressão deplasma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos
onde cs é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnéticaé maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsitoacústico (ou de Alfven).
Referências
Biblografia
Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9