Luas lingkaran

Matematika modern dapat memperoleh luas menggunakan metode kalkulus integral atau turunan yang lebih canggih, analisis riil. Namun luas cakram dipelajari oleh Yunani Kuno. Eudoxus dari Cnidus pada abad kelima SM, telah menemukan bahwa luas cakram sebanding dengan radius kuadratnya.^[1] Archimedes menggunakan perkakas geometri Euklides untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas segitiga siku-siku yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran dalam bukunya Pengukuran Lingkaran. Kelilingnya ${\displaystyle 2\pi r}$ , dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas ${\displaystyle \pi r^{2}}$ untuk cakram. Sebelum Archimedes, Hippocrates adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian dari kuadraturnya dalam bulan sabit Hippocrates,^[2] tetapi tidak mengidentifikasi konstanta proporsionalitas.

Bukti melalui poligon

Selama lebih dari 2000 tahun yang silam, Archimedes menyediakan kunci untuk suatu penyelesaian.^[3]

Dengan memperhatikan poligon dalam yang mengaproksimasi daerah melengkung dan pendekatan geometris (anggap lingkaran berjari-jari 1), kita perhatikan poligon dalam beraturan ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},\dots }$ dengan 4 sisi, 8 sisi, 16 sisi, dst. Luas lingkaran adalah limit ketika ${\displaystyle n\to \infty }$ dari luas-luas ${\displaystyle P_{n}}$ . Misal ${\displaystyle A}$ menyatakan luas suatu daerah, maka

${\displaystyle A({\text{lingkaran}})=\lim _{n\to \infty }A(P_{n})}$ .^[3]

Hal yang serupa untuk pendekatan geometris terhadap poligon luar.

Bukti melalui semilingkaran

Tinjau daerah dengan selang ${\displaystyle [-r,r]}$ , maka kita bisa menghitung luas setengah lingkaran dengan ${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ .

${\displaystyle A_{\text{setengah lingkaran}}=\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\left.{\frac {r^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{r}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\right|_{-r}^{r}={\frac {r^{2}}{2}}\left[{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}\right]={\frac {\pi r^{2}}{2}}}$ .^[4]

Luas lingkaran, ialah dua kali dari luas semilingkaran, maka kita tuliskan

${\displaystyle A_{\text{lingkaran}}=2A_{\text{setengah lingkaran}}=\pi r^{2}}$ .

Bukti melalui estimasi dari luas persegi panjang

Bukti yang sederhana adalah melalui luas persegi panjang (sebagai estimasi saja). Dengan memotong lingkaran sehingga masing-masing luas juring adalah sama, serta transfigurasi melalui penyusunan luas juring tersebut (dengan warna putih dan kuning, lihat gambar) menjadi persegi panjang, maka kita dapat mengeksploitasi luas persegi panjang untuk mencari luas lingkaran.^[5]

Luas lingkaran yang diperoleh sama dengan luas persegi panjang, yaitu setengah keliling lingkaran dikali dengan jari-jari.

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot C\cdot r={\frac {1}{2}}\cdot (2\pi r)\cdot r=\pi r^{2}}$ .^[5]

Bukti melalui segitiga

Selain pembuktian melalui estimasi terhadap luas persegi panjang sebagai pencarian luas lingkaran, kita dapat membuktikannya melalui luas segitiga siku-siku. Dengan memperhatikan gambar bahwa luas lingkaran divisualisasikan melalui animasi, maka kita dapat memisalkan masing-masing jari-jari dan keliling lingkaran sebagai alas dan tinggi pada segitiga siku-siku.

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot C\cdot r={\frac {1}{2}}\cdot (2\pi r)\cdot r=\pi r^{2}}$

• Diameter, dua kalinya jari-jari.
• Lingkaran
• Bulan sabit Hippocrates