Approximation av integralen ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x} med en trapets. Sammansatta trapetsregeln Trapetsregeln (ej att förväxla med trapetsmetoden ) är en numerisk metod för att approximera en bestämd integral på formen ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x} .
Metoden går ut på att integralen av f ( x ) {\displaystyle f(x)} på intervallet [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} kan approximeras med en trapets ,
∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) f ( a ) + f ( b ) 2 . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}
Genom att dela in intervallet [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} i N {\displaystyle N} stycken delintervall med längd h = ( b − a ) / N {\displaystyle h=(b-a)/N} och tillämpa trapetsregeln på vart och ett av delintervallen fås den sammansatta trapetsregeln ,
∫ a b f ( x ) d x ≈ T ( h ) := h ∑ k = 1 N f ( x k ) + f ( x k + 1 ) 2 , {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx T(h):=h\sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}},}
där x k = a + ( k − 1 ) h {\displaystyle x_{k}=a+(k-1)h} , k = 1 , . . . , N + 1 {\displaystyle k=1,...,N+1} , så att x 1 = a {\displaystyle x_{1}=a} och x N + 1 = b {\displaystyle x_{N+1}=b} .
Om intervallängden h k = x k + 1 − x k {\displaystyle h_{k}=x_{k+1}-x_{k}} inte är konstant kan den sammansatta trapetsregeln uttryckas på sin allmänna form,
∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ k = 1 N ( x k + 1 − x k ) f ( x k ) + f ( x k + 1 ) 2 . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{N}(x_{k+1}-x_{k}){\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}.}
Trunkeringsfelet för den sammansatta trapetsregeln kan uttryckas som [ 1]
e ( h ) = ∫ a b f ( x ) d x − T ( h ) = c 1 h 2 + c 2 h 4 + c 3 h 6 + . . . = O ( h 2 ) , {\displaystyle e(h)=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x-T(h)=c_{1}h^{2}+c_{2}h^{4}+c_{3}h^{6}+...={\mathcal {O}}(h^{2}),}
det vill säga den dominerande feltermen är proportionell mot h 2 {\displaystyle h^{2}} , så metoden har noggrannhetsordning två.