梯形公式是數學中数值积分的基础公式之一: ∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) f ( a ) + f ( b ) 2 . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}
由积分中值定理可得
∃ ξ ∈ [ a , b ] ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) f ( ξ ) {\displaystyle \exists \xi \in [a,b]\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi )} ,
但由于ξ其值一般难于确定,故难以准确算出 f ( ξ ) {\displaystyle f(\xi )} 的值。
如果用两端点 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 与 f ( b ) {\displaystyle f(b)} 的算术平均值估算 f ( ξ ) {\displaystyle f(\xi )} ,有
∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 2 [ f ( a ) + f ( b ) ] {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{2}}[f(a)+f(b)]} ,
这就是梯形公式。
类似地,如果用区间中点 c = a + b 2 {\displaystyle c={\frac {a+b}{2}}} 其高度 f ( c ) {\displaystyle f(c)} 取代 f ( ξ ) {\displaystyle f(\xi )} ,从而有中矩形公式
∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)f({\frac {a+b}{2}})} 。
為了計算出更加準確的定積分,可以把積分的區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 分成 N {\displaystyle N} 份,當中 N {\displaystyle N} 趨向無限,分割出的每一個區間長度必定要是一樣的,然後就可以應用梯形公式:
亦可以寫成:
當中
其余项为
R n ( f ) = − b − a 12 h 2 f ″ ( η ) , η ∈ ( a , b ) {\displaystyle R_{n}(f)=-{\frac {b-a}{12}}h^{2}f''(\eta ),\eta \in (a,b)}
當區間的長度並不相同時,這一條公式便不能使用。
給予 x 1 , … , x N {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}} 以及 y 1 , … , y N {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{N}} ,定積分就可以估算成
應用梯形公式的誤差值是真值數字與運用梯形公式結果的差異:
如果 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 中存在一個實數 ξ {\displaystyle \xi } ,那麼
对于中矩形公式,其误差类似的有:
error = − ( b − a ) 3 24 f ″ ( ξ ) {\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\xi )}
如果被積函數是一個凸函數(亦即有一個正值二階導數),那麼誤差會是一個負數,也代表梯形公式的估算值高估了真實數字。這可以利用一個幾何圖形代去表達:梯形不但覆蓋曲線下的面積更超越其範圍。同樣地,如果被積函數是一個凹函數,梯形公式就會低估其真實數字因為曲線下部份面積沒有被計算在內。如果被積函數中有拐點。它的錯誤是比較難去估計。
一般而言有數種方法可以去分析誤差,例如是:傅利葉級數。
在 N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } 的情況下,趨向性的估計誤差是: