Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри .
Ланцюговим комплексом називається послідовність ( K ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (K_{\bullet },\partial _{\bullet })} модулів і гомоморфізмів ∂ n : K n → K n − 1 {\displaystyle \partial _{n}:K_{n}\to K_{n-1}} , що називаються граничними операторами або диференціалами
… ← K n − 1 ← ∂ n K n ← ∂ n + 1 K n + 1 ← … {\displaystyle \ldots {\xleftarrow {}}K_{n-1}{\xleftarrow {\partial _{n}}}K_{n}{\xleftarrow {\partial _{n+1}}}K_{n+1}{\xleftarrow {}}\ldots } така що ∂ n ∂ n + 1 = 0 {\displaystyle \partial _{n}\partial _{n+1}=0} . Елементи K n {\displaystyle K_{n}} називаються n-мірними ланцюгами , елементи ядра Z n K = K e r ∂ n {\displaystyle Z_{n}K=Ker\partial _{n}} — n-вимірними циклами , елементи образа B n K = I m ∂ n + 1 {\displaystyle B_{n}K=Im\partial _{n+1}} — n-вимірними границями . З ∂ n ∂ n + 1 = 0 {\displaystyle \partial _{n}\partial _{n+1}=0} випливає, що B n K ⊂ Z n K {\displaystyle B_{n}K\subset Z_{n}K} (т.зв. напівточність). Якщо до того ж B n K = Z n K {\displaystyle B_{n}K=Z_{n}K} , то такий комплекс називається точним .
Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами φ ∙ : ( K ∙ , ∂ ∙ K ) → ( L ∙ , ∂ ∙ L ) {\displaystyle ~\varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet },\partial _{\bullet }^{K})\to (L_{\bullet },\partial _{\bullet }^{L})} , де φ ∙ {\displaystyle \varphi _{\bullet }} послідовність морфізмів φ n : K n → L n {\displaystyle \varphi _{n}\colon K_{n}\to L_{n}} , така що φ n {\displaystyle \varphi _{n}} комутує з диференціалом, тобто ∂ n L φ n = φ n − 1 ∂ n K {\displaystyle \partial _{n}^{L}\varphi _{n}=\varphi _{n-1}\partial _{n}^{K}} .
Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів ( Ω ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (\Omega ^{\bullet },d^{\bullet })} і гомоморфізмов d n : Ω n → Ω n + 1 {\displaystyle d^{n}\colon \Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}} , таких що
d n + 1 d n = 0 {\displaystyle d^{n+1}d^{n}=0} Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.
… → Ω n − 1 → d n − 1 Ω n → d n Ω n + 1 → d n + 1 … {\displaystyle \ldots {\xrightarrow {}}\Omega ^{n-1}{\xrightarrow {d^{n-1}}}\Omega ^{n}{\xrightarrow {d^{n}}}\Omega ^{n+1}{\xrightarrow {d^{n+1}}}\ldots } Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.
n-вимірна група гомологій H n {\displaystyle H_{n}} ланцюгового комплексу ( K ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (K_{\bullet },\partial _{\bullet })} є його мірою точності в n-ому члені і визначається як
H n ( K ∙ , ∂ ∙ ) = B n ( K ) / Z n ( K ) = K e r ∂ n / I m , ∂ n + 1 {\displaystyle H_{n}(K_{\bullet },\partial _{\bullet })=B_{n}(K)/Z_{n}(K)=\mathrm {Ker} \partial _{n}/\mathrm {Im} ,\partial _{n+1}} . Для точного комплексу H n = 0 {\displaystyle H_{n}=0} Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:
H n ( Ω ∙ , d ∙ ) = B n / Z n = K e r d n / I m , d n − 1 {\displaystyle H^{n}(\Omega ^{\bullet },d^{\bullet })=B^{n}/Z^{n}=\mathrm {Ker} d^{n}/\mathrm {Im} ,d^{n-1}} Нехай маємо симпліційний комплекс K .
Визначимо C n (K ) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:
∂ n : C n ( K ) → C n − 1 ( K ) : ( [ v 0 , … , v n ] ↦ ∑ i = 0 n ( − 1 ) i σ ( [ v 0 , … , v ^ i , … , v n ] ) , {\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(K)\to C_{n-1}(K):\,([v_{0},\ldots ,v_{n}]\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma ([v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]),} Виконується властивість ∂² = 0, отже ( C ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })} є ланцюговим комплексом; симпліційна гомологія H ∙ ( X ) {\displaystyle H_{\bullet }(X)} визначається:
H n ( X ) = ker ∂ n / im ∂ n + 1 . {\displaystyle H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/{\mbox{im }}\partial _{n+1}.} Диференціальні k -форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір , що позначається Ωk (M ).Зовнішня похідна d k є відображенням з Ωk (M ) в Ωk +1 (M ), і d 2 = 0, отже простори k -форм із зовнішньою похідною утворюють коланцюговий комплекс:
Ω 0 ( M ) → d 0 Ω 1 ( M ) → Ω 2 ( M ) → Ω 3 ( M ) → ⋯ . {\displaystyle \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d_{0}}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \cdots .} Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама :
H D R k ( M ) = ker d k / i m d k − 1 . {\displaystyle H_{\mathrm {DR} }^{k}(M)=\ker d_{k}/\mathrm {im} \,d_{k-1}.} Гомоморфізми ланцюгових комплексів ред. код Гомоморфізмом ланцюгових комплексів ( A ∙ , δ ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },\delta _{\bullet })} і ( B ∙ , γ ∙ ) {\displaystyle (B_{\bullet },\gamma _{\bullet })} називається таке відображення f : A n → B n , ∀ n ∈ N , {\displaystyle f\colon A_{n}\to B_{n},\forall n\in \mathbb {N} ,} що наступна діаграма є комутативною:
Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій .
Ланцюгова гомотопія D : X → Y {\displaystyle D\colon X\to Y} між гомоморфізмами комплексів f {\displaystyle f} і g {\displaystyle g} — гомоморфізм ланцюгових комплексів ( X ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (X_{\bullet },\partial _{\bullet })} і ( Y ∙ , δ ∙ ) {\displaystyle (Y_{\bullet },\delta _{\bullet })} ступеня +1 (тобто D k : X k → Y k + 1 {\displaystyle D_{k}\colon X_{k}\to Y_{k+1}} ), для якого
δ D + D ∂ = g − f {\displaystyle \delta D+D\partial =g-f} δ k + 1 D k + D k − 1 ∂ k = g k − f k {\displaystyle \delta _{k+1}D_{k}+D_{k-1}\partial _{k}=g_{k}-f_{k}} Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.
Картан А. , Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966.Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.