Ellissoide di riferimento

Dal punto di vista matematico, un ellissoide di riferimento è usualmente uno sferoide oblato (appiattito) i cui semiassi sono definiti:

• raggio equatoriale (il semiasse maggiore ${\displaystyle a}$ );
• raggio polare (il semiasse minore ${\displaystyle b}$ ).

Nel lavoro con geometria ellittica, diversi parametri sono comunemente utilizzati, che sono tutte funzioni trigonometriche di un'ellisse di eccentricità angolare, ${\displaystyle o\!\varepsilon }$ :

${\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {b}{a}}\right)=2\arctan \left({\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right);}$

La rotazione della Terra causa un rigonfiamento all'equatore ed un appiattimento ai poli, cosicché il raggio equatoriale è maggiore del raggio polare: ${\displaystyle a>b}$ . Quest’appiattimento ${\displaystyle f}$ determina quanto lo sferoide si avvicina alla forma sferica ed è definito da:

${\displaystyle f={\mbox{ver}}(o\!\varepsilon )=2\sin \left({\frac {o\!\varepsilon }{2}}\right)^{2}=1-\cos(o\!\varepsilon )={\frac {a-b}{a}}.}$

Per la Terra, ${\displaystyle f}$ vale circa 1/300, che si traduce in una differenza di circa 20 km, e si sta lentamente riducendo su una scala di tempo geologica.

Anche il rigonfiamento equatoriale subisce lente variazioni. Nel 1998 un’inversione di tendenza ha portato il valore ad aumentare, forse a causa di una redistribuzione delle masse oceaniche dovuta alle correnti.^[1]

Facendo dei confronti, la Luna è meno ellittica della Terra, con un appiattimento di meno di 1/825, mentre Giove è visibilmente appiattito con circa 1/15.

Tradizionalmente quando si definisce un ellissoide di riferimento si specifica il raggio equatoriale ${\displaystyle a}$ (usualmente in metri) e l'inverso del rapporto di appiattimento ${\displaystyle 1/f}$ . Il raggio polare è quindi ricavato come:

${\displaystyle b=a\cos(o\!\varepsilon )=a(1-f).}$

L'appiattimento teorico calcolato considerando la gravità e la forza centrifuga vale:

${\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}}\,,}$

dove ${\displaystyle \omega }$ è la velocità angolare, ${\displaystyle G}$ è la costante gravitazionale, e ${\displaystyle M}$ è la massa del pianeta.

^[2]

Per la Terra ${\displaystyle q^{-1}\approx 289}$ , vicino al valore misurato di ${\displaystyle f^{-1}\approx 298.257}$ . La differenza è dovuta alla disomogeneità della densità della Terra, in particolare alla rigidezza del nucleo, che ha una densità notevolmente superiore al mantello.

Ellisse dato dalla sezione traversa

Uno sferoide è una figura di rotazione generata dalla rotazione di un'ellisse attorno all'asse minore. Coerentemente, l'asse minore coincide con l'asse di rotazione della Terra (distinto dall'asse magnetico e dall'asse orbitale).L'appiattimento dello sferoide è legato all'eccentricità ${\displaystyle e}$ , dell'ellisse:

${\displaystyle e^{2}=\sin(o\!\varepsilon )^{2}=f(2-f)={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}.}$

Ellissoide triassiale

Si definisce sferoide un ellissoide con due dei tre assi uguali. Raramente viene usato ai fini geoidici un ellissoide scaleno, in cui i tre assi sono diversi tra loro, detto anche triassiale ${\displaystyle a_{x},\,a_{y},\,b}$ . Viene usato per modellare corpi celesti minori, come piccole lune ed asteroidi. Ad esempio Telesto, una luna triassiale di Saturno, ha appiattimenti di 1/3 e 1/2.

Sulla base degli ellissoidi di riferimento si definiscono i sistemi di coordinate geografiche, che identificano i punti sulla superficie dei corpi celesti in termini di latitudine (nord-sud) e longitudine (est-ovest).

La longitudine è la misura dell'angolo di rotazione tra il meridiano zero e il punto da misurare. Per convenzione, nel caso di Terra, Sole e Luna, l'angolo viene espresso in gradi che spaziano tra i −180º e i +180º, per gli altri corpi celesti si usano invece i valori da 0° a 360°.

La latitudine è la distanza angolare di un punto dai poli o dall'equatore, misurata lungo un meridiano. Essa assume valori compresi fra −90º e +90º, con lo zero in corrispondenza dell'equatore.

La comune latitudine, ovvero la latitudine geografica, è l'angolo compreso fra il piano equatoriale e una linea che è normale all'ellissoide di riferimento. Siccome è dipendente dall'appiattimento, essa può essere leggermente differente dalla latitudine geocentrica che è l'angolo fra il piano equatoriale e una linea dal centro dell'ellissoide. Per corpi non terrestri si usano invece i termini planetografica e planetocentrica.

Questi sistemi prevedono inoltre la scelta di un meridiano di riferimento o "meridiano zero". Nel caso della Terra si assume di regola il meridiano di Greenwich; per gli altri corpi celesti si utilizza come punto di riferimento un oggetto superficiale ben riconoscibile. Ad esempio, nel caso di Marte, il meridiano di riferimento passa per il centro del cratere Airy-0.

È possibile che molti sistemi di coordinate differenti siano definiti sullo stesso ellissoide di riferimento.

Le coordinate di un punto geodetico sono normalmente riportate come latitudine e longitudine geodetica: cioè la direzione nello spazio della normale geodetica contenente il punto e l'altezza del punto sull'ellissoide di riferimento. Utilizzando queste coordinate (Latitudine ${\displaystyle \phi }$ , longitudine ${\displaystyle \lambda }$ e altezza h) è possibile calcolare le coordinate rettangolari geodetiche come segue:

${\displaystyle X_{t}=[N+h]\cos(\phi )\cos(\lambda );}$

${\displaystyle Y_{t}=[N+h]\cos(\phi )\sin(\lambda );}$

${\displaystyle Z_{t}=[N\cos(o\!\varepsilon )^{2}+h]\sin(\phi );}$

dove

${\displaystyle N=N(\phi )={\frac {a}{\sqrt {1-(\sin(\phi )\sin(o\!\varepsilon ))^{2}}}}}$

è il raggio di curvatura nel primo verticale.

Al contrario dedurre ${\displaystyle \phi }$ , ${\displaystyle \lambda }$ e h dalle coordinate rettangolari richiede di procedere per iterazione

Se ${\displaystyle \phi _{c}=\arctan(\sec(o\!\varepsilon )^{2}\tan(\psi _{t}))\;}$ ,${\displaystyle \phi _{p}=\phi _{c}:\;\phi _{c}=\arctan \!\left({\frac {\qquad \;\;a^{2}Z_{t}\quad \,+{\frac {1}{4}}[N(\phi _{p})\sin(\phi _{p})]^{3}\sin(2o\!\varepsilon )^{2}}{\!\!\!\!\!a^{2}{\sqrt {X_{t}^{2}+Y_{t}^{2}}}\,-[N(\phi _{p})\cos(\phi _{p})]^{3}\sin(o\!\varepsilon )^{2}}}\right);}$

si ripete finché ${\displaystyle \phi _{c}=\phi _{p}}$ : ${\displaystyle \phi =\phi _{c}.}$

O, introducendo le latitudini geocentrica, ${\displaystyle \psi }$ , o parametrica o ridotta, ${\displaystyle \beta }$ , si ha:

${\displaystyle \psi _{t}=\arctan \left({\frac {Z_{t}}{\sqrt {X_{t}^{2}+Y_{t}^{2}}}}\right)\;}$ and ${\displaystyle \beta _{c}=\arctan(\sec(o\!\varepsilon )\tan(\psi _{t}))\;}$ ,${\displaystyle \phi _{p}=\phi _{c}:\;\phi _{c}=\arctan \!\left({\frac {\qquad \,Z_{t}\qquad +b\sin(\beta _{c})^{3}\tan(o\!\varepsilon )^{2}}{{\sqrt {X_{t}^{2}+Y_{t}^{2}}}\;-a\cos(\beta _{c})^{3}\sin(o\!\varepsilon )^{2}}}\right);}$

${\displaystyle \beta _{p}=\beta _{c}:\;\beta _{c}=\arctan \left(\cos(o\!\varepsilon )\tan(\phi _{c})\right);\;}$

Si ripete finché${\displaystyle \phi _{c}=\phi _{p}}$ and ${\displaystyle \beta _{c}=\beta _{p}}$ :

${\displaystyle \phi =\phi _{c};\quad \beta =\beta _{c};\quad \psi =\arctan(\cos(o\!\varepsilon )\tan(\beta )).}$

Quando si trova ${\displaystyle \phi }$ allora si può isolare h:

${\displaystyle h=\sec(\phi ){\color {white}{\dot {\color {black}{\sqrt {X_{t}^{2}+Y_{t}^{2}}}}}}-N\;=\;\csc(\phi )Z_{t}-\cos(o\!\varepsilon )^{2}N,}$ ${\displaystyle {}_{\color {white}8.}=\cos(\phi ){\color {white}{\dot {\color {black}{\sqrt {X_{t}^{2}+Y_{t}^{2}}}}}}\,+\,\sin(\phi )\left[Z_{t}+\sin(o\!\varepsilon )^{2}N\sin(\phi )\right]-N.}$

Il riferimento attualmente più usato, grazie all'impiego nel contesto GPS, è il WGS84.

La cartografia italiana è realizzata impiegando l'ellissoide internazionale di Hayford, tranne il sistema catastale che adopera il sistema anteguerra basato sull'ellissoide di Bessel.

I parametri di seguito elencati definiscono la forma degli ellissoidi storicamente impiegati.

Nome	Semiasse Magg.(m)	Semiasse Min.(m)	${\displaystyle 1/f}$	Area applicazione
Sfera (6371 km)	6 371 000	6 371 000	0
Timbalai	6 377 298,56	6 356 097,55	300,801639166
Sferoide di Everest	6 377 301,243	6 356 100,228	300,801694993
Everest modificato (Malaya) Revised Kertau	6 377 304,063	6 356 103,038993	300,801699969
Maupertuis (1738)	6 397 300	6 363 806,283	191	Francia
Everest (1830)	6 377 276,345	6 356 075,413	300,801697979	India
Airy (1830)	6 377 563,396	6 356 256,909	299,3249646	Gran Bretagna
Bessel (1841)	6 377 397,155	6 356 078,963	299,1528128	Europa, Giappone. Sistema catastale italiano
Clarke (1866)	6 378 206,4	6 356 583,8	294,9786982	Nord America
Clarke (1880)	6 378 249,145	6 356 514,870	293,465	Francia, Africa
Helmert (1906)	6 378 200	6 356 818,17	298,3
Hayford (1910)	6 378 388	6 356 911,946	297	USA, Italia
International (1924)	6 378 388	6 356 911,946	297	Europa. Italia: Roma 40, ED50
NAD 27	6 378 206,4	6 356 583,800	294,978698208	Nord America
Krasovskii (1940)	6 378 245	6 356 863,019	298,3	Russia
WGS66 (1966)	6 378 145	6 356 759,769	298,25	USA / DoD (Dipartimento della difesa)
Australian National (1966)	6 378 160	6 356 774,719	298,25	Australia
New International (1967)	6 378 157,5	6 356 772,2	298,24961539
GRS-67 (1967)	6 378 160	6 356 774,516	298,247167427
South American (1969)	6 378 160	6 356 774,719	298,25	Sud America
WGS-72 (1972)	6 378 135	6 356 750,52	298,26	USA / DoD (Dipartimento della difesa)
GRS-80 (1979)	6 378 137	6 356 752,3141	298,257222101
NAD 83	6 378 137	6 356 752,3	298,257024899	Nord America
WGS-84 (1984)	6 378 137	6 356 752,3142	298,257223563	cartografia GPS
IERS (1989)	6 378 136	6 356 751,302	298,257	Output degli attuali GPS
Per scopi generali	6 378 135	6 356 750	298,25274725275	L'intero globo

Per poter costituire un sistema di riferimento un ellissoide deve essere posizionato ed orientato.Tradizionalmente gli ellissoidi di riferimento (e la loro realizzazione o datum) sono definiti localmente per meglio approssimare il geoide locale: di conseguenza non sono geocentrici.I moderni datum geodetici sono stabiliti con l'uso di tecnologia GPS, e sono quindi geocentrici. Il motivo principale è che il moto orbitale dei satelliti è relativo al centro di massa della terra. Una conseguenza positiva è che l'ellissoide così definito mantiene la sua validità a livello globale (es. WGS 84).

Gli ellissoidi di riferimento sono utili anche per mappare altri corpi celesti, come i pianeti, i loro satelliti, gli asteroidi e i nuclei delle comete. Alcuni corpi, già accuratamente osservati, hanno alcuni ellissoidi di riferimento propri abbastanza precisi, come la Luna e Marte.

• P. K. Seidelmann (Chair), et al. (2005), “Report Of The IAU/IAG Working Group On Cartographic Coordinates And Rotational Elements: 2003,” Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 91, pp. 203 – 215.
  • Web address: https://web.archive.org/web/20111102230508/http://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE/
• OpenGIS Implementation Specification for Geographic information - Simple feature access - Part 1: Common architecture, Annex B.4. 2005-11-30
  • Web address: http://www.opengeospatial.org

• Raggio della Terra
• Ellitticità
• Forma della Terra
• Geoide

• Coordinate System Index, su posc.org. URL consultato il 13 aprile 2007 (archiviato dall'url originale il 10 gennaio 2010).
• Geographic coordinate system, su publib.boulder.ibm.com.
• Coordinate systems and transformations, su spenvis.oma.be. URL consultato il 13 aprile 2007 (archiviato dall'url originale il 2 aprile 2007).
• Coordinate Systems, Frames and Datums, su agnld.uni-potsdam.de. URL consultato il 13 aprile 2007 (archiviato dall'url originale il 5 ottobre 2006).
• Aerospace Blockset: ECEF Position to LLA, su mathworks.com.

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