Equazione ciclotomica

L'equazione ciclotomica è l'equazione che si deve risolvere per cercare le radici ${\displaystyle n}$-sime dell'unità.

Si cercano le soluzioni dell'equazione

${\displaystyle z^{n}-1=0,}$

nel campo dei numeri complessi, o equivalentemente di ${\displaystyle z^{n}=1}$, cioè si cercano le ${\displaystyle n}$ radici ${\displaystyle n}$-sime dell'unità.

Ad un punto della circonferenza unitaria nel piano di Argand-Gauss risulta associato il numero complesso

${\displaystyle z=\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta },}$

dove si è aggiunta la notazione esponenziale dei numeri complessi.

Considerando la circonferenza unitaria di centro ${\displaystyle O(0,0)}$ e raggio unitario nel piano complesso, le radici dell'equazione giacciono sulla circonferenza unitaria e la dividono in ${\displaystyle n}$ archi uguali.

Poiché le radici dell'equazione ${\displaystyle z^{n-1}+z^{n-2}+z^{n-3}+\ldots +z+1=0,}$ insieme alla radice ${\displaystyle z=1}$ sono le ${\displaystyle n}$ radici dell'unità e dividono la circonferenza unitaria in ${\displaystyle n}$ parti uguali, l'equazione precedente è detta equazione ciclotomica ("che divide la circonferenza").

Si ricordi che le ${\displaystyle n}$ radici n-sime dell'unità, cioè i numeri ${\displaystyle R,R^{2},R^{3},\ldots ,R^{n}=1}$ formano un gruppo moltiplicativo, dal momento che soddisfano le seguenti condizioni:

1. chiusura: ${\displaystyle R^{a}R^{b}=R^{a+b}=R^{c}}$ dove ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ sono interi minori di ${\displaystyle n;}$
2. associatività: ${\displaystyle R^{a}(R^{b}R^{c})=(R^{a}R^{b})R^{c}=R^{a+b+c};}$
3. elemento neutro: ${\displaystyle R^{n}}$ poiché ${\displaystyle R^{a}R^{n}=R^{a};}$
4. elemento inverso di ${\displaystyle R^{a}}$ è ${\displaystyle R^{n-a}.}$