Lemma di Urysohn

Il teorema afferma che uno spazio normale è completamente normale. In altre parole:

Informalmente, il teorema asserisce che in uno spazio normale gli insiemi chiusi possono essere "separati" tramite una funzione continua a valori in un intervallo reale.

Il lemma può essere formulato sostituendo i chiusi con due insiemi qualsiasi A e B, esigendo che le rispettive chiusure non abbiano punti in comune. Senza questa condizione non può esistere una funzione separatrice continua (se un punto x è aderente ad A allora un'ipotetica funzione separatrice, per continuità, dovrà valere 0 in x. Se x è aderente a B dovrà valervi 1, generando una contraddizione). Questa formulazione, apparentemente più restrittiva è invece perfettamente equivalente: sarà infatti sufficiente applicare il lemma alle due chiusure.

Gli spazi normali presentano quindi la caratteristica di avere una dotazione molto ricca di funzioni reali continue. Questa ricchezza è ancora meglio evidenziata da un suo corollario, il teorema di Tietze, il quale afferma la prolungabilità di qualsiasi funzione reale definita in un qualsiasi sottoinsieme dello spazio.

Ai fini della dimostrazione riesce utile la seguente osservazione.

Osservazione preliminare

La condizione perché uno spazio sia normale può essere formulata così:

Indicando con ${\displaystyle {\overline {V}}}$ la chiusura di V, deve quindi aversi ${\textstyle F\subseteq V\subseteq {\overline {V}}\subseteq U}$ .
Allo stesso modo andrà ricercata una funzione continua :${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ a valori in [0,1], che valga 0 su tutto E e 1 su F.

Dimostrazione

Nonostante la profondità della tesi, la dimostrazione del teorema si rivela estremamente semplice ed intuitiva. In molti manuali, tuttavia, la semplicità viene sacrificata ad un infelice eccesso di notazione fino a renderla letteralmente oscura.

L'idea di fondo consiste nell'immaginare gli insiemi F e V su cui costruire una funzione come in figura 2.

Per arrivare al risultato finale si procede con delle funzioni, per così dire, a gradoni. La prima di esse sarà:

${\displaystyle f_{1}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in F\\0&{\mbox{se}}\ x\notin F\end{matrix}}\right.}$

Si procede con un raffinamento della funzione:Si trova un aperto ${\displaystyle V}$ tale che la chiusura ${\displaystyle {\overline {V}}\subseteq U}$
Allora si definisce

${\displaystyle f_{2}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in F\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{se}}\ x\in {\overline {V}}\setminus F\\0&{\mbox{se}}\ x\notin {\overline {V}}\\\end{matrix}}\right.}$

L'intersezione fra ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e l'intervallo [0,1], sia detta S={r₀, r₁,..., r_n,...}, è numerabile perché ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , insieme dei numeri razionali, lo è. Costruiremo una successione crescente, indicizzata da S, di aperti tra A e il complementare di B, che godrà di determinate proprietà.Posto innanzitutto r₀=0 e r₁=1, definisco per ogni numero naturale n l'insieme S_n = {r₀,...,r_n}, cosicché risulta che S è l'unione di tutti gli S_n.

Siccome A e B sono due chiusi disgiunti, allora A è un chiuso contenuto in quell'aperto che è il complementare di B: dunque, per la condizione equivalente alla normalità, esiste un aperto W che contiene A e la cui chiusura è contenuta nel complementare di B. Ponendo allora V(0):=W e V(1) uguale al complementare di B, si ha che:

$${\displaystyle A\subseteq V(0)\subseteq {\overline {V}}(0)\subseteq V(1)}$$

• (i) ${\displaystyle {\overline {V}}(r_{i})\subseteq V(r_{k})}$ allorquando r_i<r_k, per ogni i,k<n;
• (ii) A⊆V(0), V(1)=X\B.

Supponendo poi di aver definito una tale successione fino all'n-esimo elemento, è facile mostrare che allora si può costruirla anche fino all'elemento di indice n+1. Essendo S_n finito esistono infatti in esso due razionali, siano detti r_l e r_m, che sono più vicini a r_n+1 di qualunque altro in S_n, e tali che r_l<r_n+1<r_m.Ad essi sono associati due aperti, V(r_l) e V(r_m), tali che la chiusura del primo è contenuta nel secondo: per normalità, esiste un aperto W che contiene la chiusura di V(r_l) e la cui chiusura è contenuta in V(r_m). Ponendo V(r_n+1)=W, verifico facilmente che anche per S_n+1 sono verificate le proprietà (i)_n+1 e (ii).In definitiva, per il principio di induzione, essendo S numerabile, posso concludere che esiste una successione {V(r)}_r∈S, che soddisfa le proprietà (i) e (ii).

Posso considerare ora una funzione f così definita:

• f(x)=1, se x appartiene a B;
• f(x)=inf{r∈S|x∈V(r)}, se x appartiene a V(1), ossia non appartiene a B.

Tale funzione soddisfa i requisiti della definizione di completa normalità. Infatti, per le proprietà (i) e (ii), essa vale 1 su tutto B, mentre vale 0 su tutto A: essendo A incluso in V(0), e dunque in ogni altro aperto della successione {V(r)}_r∈S, l'estremo inferiore di quell'insieme è proprio 0.

Infine, la funzione f è continua: per vederlo è sufficiente mostrare che le sue controimmagini di aperti di base della topologia indotta di [0,1] (cioè di intervalli del tipo [0,a[ e ]b,1]) sono aperti:

• se f(x)<a, allora inf{r∈S|x∈V(r)}<a, perciò

esiste un r<a in S tale che x non è contenuto in V(r), dunque esiste pure un r>a tale che x non è contenuto nella chiusura di V(r'). Pertanto l'antiimmagine tramite f di [0,a[ sarà l'unione, al variare di r' in S, degli aperti X\cl(V(r')), che è un aperto;

• se invece f(x)>b, allora inf{r∈S|x∈V(r)}>b, perciò esiste un r>b tale che x è contenuto in V(r). Pertanto l'antiimmagine tramite f di ]b,1] sarà l'unione, al varriare di r in S degli aperti V(r), che è ovviamente un aperto.

In conclusione, se X è normale, allora per ogni coppia di chiusi disgiunti (A,B) esiste una funzione continua f che vale 0 su A e 1 su B, cioè X è completamente normale.

• Spazio normale
• Spazio completamente normale
• Assiomi di separazione
• Teorema di estensione di Tietze

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• Uryson, lemma di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Lemma di Urysohn, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Urysohn lemma, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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