Porta quantistica

Le porte logiche quantistiche sono rappresentate da matrici unitarie. Il numero di qubit in ingresso e in uscita dalla porta deve essere uguale; una porta che agisce su ${\displaystyle n}$ qubit è rappresentata da una matrice unitaria ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ . Gli stati quantistici su cui agiscono le porte sono vettori in ${\displaystyle 2^{n}}$ dimensioni complesse. I vettori della base sono i possibili esiti della misura dello stato, e uno stato quantistico è una combinazione lineare di questi esiti. Le porte quantistiche più comuni operano su spazi a uno o due qubit, proprio come le porte logiche classiche operano su uno o due bit.

Gli stati quantistici sono tipicamente rappresentati da "ket", seguendo la notazione bra-ket.

La rappresentazione vettoriale di un singolo qubit è:

${\displaystyle |a\rangle =v_{0}|0\rangle +v_{1}|1\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\end{bmatrix}}}$ ,

dove ${\displaystyle v_{0}}$ e ${\displaystyle v_{1}}$ sono ampiezze di probabilità complesse del qubit. Questi valori determinano la probabilità di misurare uno 0 o un 1, quando si misura lo stato del qubit.

Il valore zero è rappresentato dal ket ${\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ , e il valore uno dal ket ${\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ .

Il prodotto tensoriale (o prodotto di Kronecker) è usato per combinare stati quantistici. Lo stato combinato di due qubit è il prodotto tensoriale dei due qubit. Il prodotto tensoriale è indicato dal simbolo ${\displaystyle \otimes }$ .

La rappresentazione vettoriale di due qubit è:

${\displaystyle |ab\rangle =|a\rangle \otimes |b\rangle =v_{00}|00\rangle +v_{01}|01\rangle +v_{10}|10\rangle +v_{11}|11\rangle \rightarrow {\begin{bmatrix}v_{00}\\v_{01}\\v_{10}\\v_{11}\end{bmatrix}}}$ ,

L'azione della porta su uno specifico stato quantistico si trova moltiplicando il vettore ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ che rappresenta lo stato, per la matrice ${\displaystyle U}$ che rappresenta la porta. Il risultato è un nuovo stato quantistico

${\displaystyle |\psi _{2}\rangle =U|\psi _{1}\rangle }$

Porta di Hadamard

La porta di Hadamard agisce su un singolo qubit. Ha il seguente effetto sugli stati di base ${\displaystyle |0\rangle }$ e ${\displaystyle |1\rangle }$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle &\longrightarrow {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\\|1\rangle &\longrightarrow {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$

Ciò significa che una misura dello stato in uscita avrà la stessa probabilità di dare 1 o 0 (cioè si crea una sovrapposizione).^[1] Rappresenta una rotazione di ${\displaystyle \pi }$ intorno all'asse ${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$ nella sfera di Bloch. Equivalentemente, è la combinazione di due rotazioni, di ${\displaystyle \pi }$ intorno all'asse Z, e poi di ${\displaystyle \pi /2}$ intorno all'asse Y: ${\displaystyle R_{y}(\pi /2)R_{z}(\pi )=iH}$ . Viene rappresentata dalla matrice di Hadamard:^[1]

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$ .

Siccome ${\displaystyle HH^{\dagger }=I}$ dove I è la matrice identità, H è una matrice unitaria (come tutte le porte logiche quantistiche).

Porta X di Pauli

La porta X di Pauli agisce su un singolo qubit. È l'equivalente quantistico della porta NOT per i computer classici (rispetto alla base standard ${\displaystyle |0\rangle }$ , ${\displaystyle |1\rangle }$ , che distingue la direzione Z, nel senso che una misura dell'autovalore 1 corrisponde al classico 1 e una misura di -1 corrisponde a 0). Equivale a una rotazione di ${\displaystyle \pi }$ radianti intorno all'asse X della sfera di Bloch. Manda ${\displaystyle |0\rangle }$ in ${\displaystyle |1\rangle }$ e ${\displaystyle |1\rangle }$ in ${\displaystyle |0\rangle }$ . A causa di questa caratteristica, viene talvolta chiamata bit-flip. Viene rappresentata dalla prima delle matrici di Pauli:^[1]

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$ .

Porta Y di Pauli

La porta Y di Pauli agisce su un singolo qubit. Equivale a una rotazione di ${\displaystyle \pi }$ radianti attorno all'asse Y della sfera di Bloch. Manda ${\displaystyle |0\rangle }$ in ${\displaystyle i|1\rangle }$ e ${\displaystyle |1\rangle }$ in ${\displaystyle -i|0\rangle }$ . Viene rappresentata dalla seconda delle matrici di Pauli:^[1]

${\displaystyle Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}$ .

Porta Z di Pauli (${\displaystyle R_{\pi }}$ )

La porta Z di Pauli agisce su un singolo qubit. Equivale a una rotazione di ${\displaystyle \pi }$ radianti attorno all'asse Z della sfera di Bloch. Perciò, è un caso particolare di porta di phase shift con ${\displaystyle \phi =\pi }$ . Lascia lo stato di base ${\displaystyle |0\rangle }$ invariato mentre manda ${\displaystyle |1\rangle }$ in ${\displaystyle -|1\rangle }$ . A causa di questa caratteristica, è talvolta chiamata phase-flip. Viene rappresentata dalla terza matrice di Pauli:^[1]

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$ .

Porte di phase shift

Si tratta di una famiglia di porte a singolo qubit che mandano gli stati di base ${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$ e ${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\phi }|1\rangle }$ .^[2] La probabilità di misurare uno ${\displaystyle |0\rangle }$ o ${\displaystyle |1\rangle }$ non cambia dopo aver applicato questa porta, tuttavia modifica la fase dello stato quantistico. È equivalente a tracciare un cerchio orizzontale (una linea di latitudine) sulla sfera di Bloch di ${\displaystyle \phi }$ radianti.

${\displaystyle R_{\phi }={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\phi }\end{bmatrix}}}$

dove ${\displaystyle \phi }$ è il phase shift. Alcuni esempi comuni sono la porta T dove ${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{4}}}$ , la porta S (anche se S si usa talvolta per le porte SWAP) dove ${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ e la porta Z di Pauli dove ${\displaystyle \phi =\pi }$ .

Le porte di phase gate sono correlate come segue:

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

• Michael Nielsen e Isaac Chang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0521632358, OCLC 43641333.
• Noson S. Yanofsky e Mirco Mannucci, Quantum computing for computer scientists, Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-0-521-87996-5.

• Porta logica
• Porta di Toffoli
• Porta di Fredkin

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