In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert .
Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:
E s = ‖ s ‖ 2 = ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t {\displaystyle E_{s}=\|\mathbf {s} \|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)\,dt} dove s ( t ) {\displaystyle s(t)}
‖ s 1 + s 2 ‖ 2 = ∫ − ∞ ∞ [ s 1 + s 2 ] 2 d t = E s 1 + E s 2 + 2 ⋅ ∫ − ∞ ∞ s 1 ⋅ s 2 d t {\displaystyle \|\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\right]^{2}\,dt=E_{s_{1}}+E_{s_{2}}+2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt} dove il termine 2 ⋅ ∫ − ∞ ∞ s 1 ⋅ s 2 d t {\displaystyle 2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt} termine di cross energy . Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è [ V 2 ⋅ s / Ω ] {\displaystyle [V^{2}\cdot s/\Omega ]} corrente elettrica allora [ A 2 ⋅ s / Ω ] {\displaystyle [A^{2}\cdot s/\Omega ]}
Spettro di potenza Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:
u ( t ) ⋅ v ( t ) = ∫ − ∞ ∞ u ( t ) v ( t ) d t {\displaystyle u(t)\cdot v(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\,dt} Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:
u ( t ) ⋅ v ( t ) = ∫ − ∞ ∞ u ( t ) v ( t ) d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ u ( t ) d t ∫ − ∞ ∞ V ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle u(t)\cdot v(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }u(t)\,dt\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega } dove V ( ω ) , U ( ω ) {\displaystyle V(\omega ),U(\omega )} v ( t ) , u ( t ) {\displaystyle v(t),u(t)}
u ( t ) ⋅ v ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ V ( ω ) d ω ∫ − ∞ ∞ u ( t ) e i ω t d t {\displaystyle u(t)\cdot v(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )\,d\omega \int _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{i\omega t}\,dt} allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di ω {\displaystyle \omega }
u ( t ) ⋅ v ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ V ( ω ) U ∗ ( ω ) d ω {\displaystyle u(t)\cdot v(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )U^{*}(\omega )\,d\omega } che è la formula generalizzata di Rayleigh : il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.
Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:
| u ( t ) | 2 = ∫ − ∞ ∞ u 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | U ( ω ) | 2 d ω {\displaystyle |u(t)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }u^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|U(\omega )|^{2}\,d\omega } interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.
Spettro di potenza di un sistema lineare Voci correlate 
![{\displaystyle \|\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\right]^{2}\,dt=E_{s_{1}}+E_{s_{2}}+2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13acd89aa664399c9bb2bce896225fce2d0d941d)
![{\displaystyle [V^{2}\cdot s/\Omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70e57e8203fb8a52a505e228e80ff1e833dc337)
![{\displaystyle [A^{2}\cdot s/\Omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8d19859a5f70b3d0eacd940ec77e77d85f66a6)
