Struttura (matematica)

Dati:

• Un insieme, ${\displaystyle A\neq \emptyset }$
• Tre insiemi disgiunti di indici, ${\displaystyle I,J,K}$
• Una funzione, ${\displaystyle ar:I\cup J\rightarrow \mathbb {N} }$
• Un insieme, ${\displaystyle \{c_{k}^{\mathfrak {A}}\in A,\ \forall k\in K\}}$
• Un insieme, ${\displaystyle \{R_{i}^{\mathfrak {A}}\ :\ R_{i}^{\mathfrak {A}}\ relazione\ ar(i)-aria\ su\ A,\ \forall i\in I\}}$
• Un insieme, ${\displaystyle \{f_{j}^{\mathfrak {A}}\ :\ f_{j}^{\mathfrak {A}}\ funzione,\ f_{j}^{\mathfrak {A}}:A^{ar(j)}\rightarrow A,\ \forall j\in J\}}$

Si chiama struttura su ${\displaystyle A}$ la quaterna:

${\displaystyle {\mathfrak {A}}=<A,\{R_{i}^{\mathfrak {A}}\}_{i\in I},\{f_{j}^{\mathfrak {A}}\}_{j\in J},\{c_{k}^{\mathfrak {A}}\}_{k\in K}>}$

Inoltre, gli elementi ${\displaystyle c_{k}^{\mathfrak {A}}}$ si chiamano elementi speciali di ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ .La quaterna ${\displaystyle \tau =<I,J,K,ar>}$ si definisce tipo di similarità di ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ .Si definisce infine cardinalità di ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ , ${\displaystyle |{\mathfrak {A}}|=|A|}$ .

La struttura ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ si dice algebrica se ${\displaystyle I\neq \emptyset }$ , e relazionale se ${\displaystyle J\neq \emptyset }$ .

L'insieme dei numeri reali ha diverse strutture standard:

• ordine lineare: ogni numero o è più piccolo o è più grande di qualunque altro numero;
• struttura algebrica: ci sono operazioni di moltiplicazione e addizione che lo rendono un campo;
• metrica: c'è una nozione di distanza fra punti;
• misura: è possibile assegnare una misura a certi suoi sottoinsiemi (tipicamente, i boreliani);
• geometria: l'insieme è dotato di una metrica e risulta piatto (rispetta gli assiomi del piano euclideo);
• topologia: c'è una nozione di insieme aperto.

Ci sono poi delle correlazioni fra tutte queste strutture:

• la metrica induce la topologia;
• l'ordine e la struttura algebrica ne fanno un campo ordinato;
• la struttura di campo e la topologia ne fanno un gruppo di Lie, che è un tipo particolare di gruppo topologico.

• Struttura algebrica
• Struttura relazionale
• Morfismo
• Gioco di Ehrenfeucht-Fraïssé

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