Teorema di Abel

Sia:

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}}$

una serie di potenze con coefficienti reali o complessi e raggio di convergenza ${\displaystyle R>0}$ . Se la serie numerica:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}R^{i}}$

converge, allora:

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow R}f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}R^{i}}$

purché il limite sia valutato su una successione di numeri reali, o più in generale all'interno di un angolo di Stolz, cioè una regione del disco aperto di centro l'origine e raggio ${\displaystyle R}$ in cui:

${\displaystyle |R-z|\leq M(R-|z|)}$

per qualche ${\displaystyle M}$ fissato (il teorema è valido per qualsiasi scelta di ${\displaystyle M}$ ). Senza questa restrizione il limite può non esistere.

Nel caso speciale in cui tutti i coefficienti ${\displaystyle a_{i}}$ siano reali positivi per ogni ${\displaystyle i}$ il limite per ${\displaystyle z\to R}$ è valido anche quando la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ non converge, ma in questo caso ambo i membri della formula sono ${\displaystyle +\infty }$ .

Possiamo supporre ${\displaystyle R=1\!}$ . Sottraendo una costante da ${\displaystyle a_{0}\!}$ , si può assumere che:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=0\!}$

Sia ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\!}$ . Allora sostituendo ${\displaystyle a_{k}=s_{k}-s_{k-1}\!}$ , con semplici manipolazioni della serie si ha:

${\displaystyle f(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}}$

Dato ${\displaystyle \epsilon >0}$ , sia n sufficientemente grande da consentire ${\displaystyle |s_{k}|<\epsilon }$ per tutti i ${\displaystyle k\geq n}$ . Si nota che:

${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \epsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\epsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\epsilon M\!}$

quando ${\displaystyle z}$ è all'interno dell'angolo di Stoltz. Se ${\displaystyle z}$ è abbastanza vicino a 1 si ha:

${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\epsilon }$

in modo che ${\displaystyle |f(z)|<(M+1)\epsilon }$ quando ${\displaystyle z}$ è nell'angolo di Stoltz ed è anche abbastanza vicino a 1.

Se una serie di potenze:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$

centrata in ${\displaystyle z_{0}}$ converge in un punto ${\displaystyle z_{1}}$ , allora essa ha raggio di convergenza ${\displaystyle R}$ almeno:

${\displaystyle R\geq |z_{0}-z_{1}|}$

Il teorema consente di valutare diverse serie in forma chiusa. Ad esempio, quando ${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{(k+1)}}}$ si ottiene:

${\displaystyle f(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}}\qquad 0<z<1}$

integrando la serie di potenze geometrica uniformemente convergente termine a termine sull'intervallo ${\displaystyle [-z,\infty ]}$ . In questo modo la serie ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)}}\!}$ converge a ${\displaystyle \ln(2)}$ per il teorema di Abel. In modo simile, ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)}}\!}$ converge ad ${\displaystyle \arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$ .

La funzione ${\displaystyle f(z)}$ è la funzione generatrice della successione ${\displaystyle \{a\}}$ .

• (EN) Lars Valerian Ahlfors, Complex Analysis, Third, McGraw Hill Higher Education, 1º settembre 1980, pp. 41–42, ISBN 0-07-085008-9. - Ahlfors called it Abel's limit theorem.

• Raggio di convergenza
• Serie di potenze

• Abel, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Abel, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) A.A. Zakharov, Abel summation method, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Abel summability, in PlanetMath.

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