Teorema di Euclide-Eulero

Un numero perfetto è un numero naturale che è uguale alla somma dei suoi divisori propri, cioè escluso se stesso.Un primo di Mersenne è un numero primo della forma ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$ , dove ${\displaystyle p}$ deve essere anch'esso primo.

Il teorema di Euclide-Eulero afferma che un numero pari è perfetto se e solo se è della forma ${\displaystyle 2^{p-1}M_{p}}$ , dove ${\displaystyle M_{p}}$ è un primo di Mersenne.^[1]

Euclide dimostrò che ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ è numero perfetto pari ogni volta che ${\displaystyle 2^{p}-1}$ è primo (Euclide, Prop. IX.36). Questo è il risultato finale della teoria dei numeri nei suoi Elementi, al contrario dei successivi libri in cui Euclide tratta i numeri irrazionali, la geometria solida e il rapporto aureo. Euclide espresse il suo risultato affermando che se una serie geometrica finita con valore iniziale 1 e ragione 2 ha come somma un numero primo ${\displaystyle P}$ , allora ${\displaystyle P}$ moltiplicato per l'ultimo termine ${\displaystyle T}$ della serie è un numero perfetto. In altre parole, la somma ${\displaystyle P}$ della serie finita è il numero primo di Mersenne ${\displaystyle 2^{p}-1}$ , mentre l'ultimo termine ${\displaystyle T}$ è la potenza ${\displaystyle 2^{p-1}}$ . Euclide dimostrò che ${\displaystyle PT}$ è perfetto osservando che la serie geometrica con ragione 2 e inizio in P, con lo stesso numero di termini, è proporzionale alla prima somma; pertanto, dato che la serie originale ha somma ${\displaystyle P=2T-1}$ , la seconda serie vale ${\displaystyle P(2T-1)=2PT-P}$ e quindi la loro somma è uguale a ${\displaystyle 2PT}$ , il doppio dell'ipotetico numero perfetto. Tuttavia, le due serie sono disgiunte una dall'altra e, per la primalità di ${\displaystyle P}$ , esauriscono tutti i divisori di ${\displaystyle PT}$ . Perciò i divisori di ${\displaystyle PT}$ hanno somma uguale a ${\displaystyle 2PT}$ , che è la definizione di numero perfetto.^[2]

Oltre un millennio dopo Euclide, Alhazen (c. 1000 DC) congetturò che ogni numero perfetto pari è della forma ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ con ${\displaystyle 2^{p}-1}$ primo, ma non fu mai in grado di dimostrarlo.^[3]

Solo nel XVIII secolo, Eulero riuscì a dimostrare che la formula ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ produce tutti i numeri perfetti pari.^[1][4] In altre parole, esiste una relazione biunivoca tra i numeri perfetti pari e i primi di Mersenne.

La dimostrazione di Eulero è corta^[1] e dipende dal fatto che la funzione sigma è una funzione moltiplicativa, cioè se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono due interi relativamente primi, allora ${\displaystyle \sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)}$ . Per fare questo, la somma dei divisori di un numero deve includere anche il numero stesso, non solo i divisori propri. Un numero ${\displaystyle n}$ è perfetto se e solo se ${\displaystyle \sigma (n)=2n}$ .

Una direzione del teorema (la parte già dimostrata da Euclide) segue immediatamente dalla proprietà moltiplicativa: ogni primo di Mersenne dà origine a un numero perfetto pari. Quando ${\displaystyle 2^{p}-1}$ è primo, ${\displaystyle \sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)}$ . La somma dei divisori di ${\displaystyle 2^{p-1}}$ è uguale a ${\displaystyle 2^{p}-1}$ , mentre la primalità di ${\displaystyle 2^{p}-1}$ implica che ${\displaystyle \sigma (2^{p}-1)=2^{p}}$ , dato che i suoi unici divisori sono 1 e se stesso. Sostituendo quanto trovato, si ricava che

${\displaystyle \sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)=(2^{p}-1)2^{p}=2(2^{p-1}(2^{p}-1)).}$

Pertanto, ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ è un numero perfetto.^[5][6][7]

Per l'altra implicazione del teorema, sia ${\displaystyle n}$ un numero perfetto pari, parzialmente fattorizzato come ${\displaystyle 2^{k}x}$ , con ${\displaystyle x}$ dispari. Se ${\displaystyle n}$ è perfetto, si deve avere che

${\displaystyle 2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x).}$

Il numero ${\displaystyle 2^{k+1}-1}$ è almeno 3 e deve dividere o eguagliare ${\displaystyle x}$ , l'unico fattore dispari al membro sinistro, quindi ${\displaystyle y=x/(2^{k+1}-1)}$ è un divisore proprio di ${\displaystyle x}$ . Dividendo entrambi i membri dell'equazione per il fattore comune ${\displaystyle 2^{k+1}-1}$ si ottiene

${\displaystyle 2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+{\text{altri divisori}}=2^{k+1}y+{\text{altri divisori}}.}$

Per fare in modo che l'uguaglianza sia verificata, non ci devono essere altri divisori. Di conseguenza, ${\displaystyle y}$ deve essere 1, e ${\displaystyle x}$ deve essere un primo della forma ${\displaystyle 2^{k+1}-1}$ .^[5][6][7]