Teorema di Rouché-Capelli

Consideriamo il sistema di equazioni lineari:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{matrix}}\right.}$

nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo ${\displaystyle K}$ , quale ad esempio quello dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o complessi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Il sistema è rappresentato fedelmente dalla matrice:

${\displaystyle (A|\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)}$

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice ${\displaystyle A}$ dei coefficienti e di un'ulteriore colonna ${\displaystyle \mathbf {b} }$ , detta colonna dei termini noti. Le matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle (A|\mathbf {b} )}$ sono dette rispettivamente incompleta e completa.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:

${\displaystyle \operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )=\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )}$

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di ${\displaystyle K^{n}}$ di dimensione ${\displaystyle n-\operatorname {rk} (A)}$ . In particolare, se il campo ${\displaystyle K}$ è infinito si ha che se ${\displaystyle \operatorname {rk} (A)=n}$ allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni.^[1]
Valgono le seguenti due relazioni:

• ${\displaystyle \operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )\geqslant \operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )}$
• ${\displaystyle \max\{\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )\}=\min\{n,m\}}$ ,

dove ${\displaystyle n}$ è il numero di incognite, e ${\displaystyle m}$ è il numero di equazioni del sistema.

Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo il vettore delle coordinate:

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

Questa relazione dice che un vettore noto ${\displaystyle \mathbf {b} }$ si vuole sia l'immagine di un vettore incognito ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ottenuta mediante l'applicazione lineare ${\displaystyle L_{A}:K^{n}\to K^{m}}$ associata alla matrice dei coefficienti:

${\displaystyle L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se ${\displaystyle \mathbf {b} }$ è l'immagine di almeno un vettore ${\displaystyle \mathbf {x} }$ di ${\displaystyle K^{n}}$ , ovvero se e solo se fa parte dell'immagine di ${\displaystyle L_{A}}$ . Si osserva che l'immagine di ${\displaystyle L_{A}}$ è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di ${\displaystyle A}$ . Quindi ${\displaystyle \mathbf {b} }$ è contenuto nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di ${\displaystyle A}$ contiene ${\displaystyle b}$ , cioè se e solo se lo span delle colonne di ${\displaystyle A}$ è uguale allo span delle colonne di ${\displaystyle (A|\mathbf {b} )}$ . Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

Se esiste una soluzione ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ , ogni altra soluzione si scrive come ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} }$ , dove ${\displaystyle \mathbf {v} }$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:^[2]

${\displaystyle A\mathbf {v} =0}$

Infatti:

${\displaystyle A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \ }$

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ , è quindi il sottospazio affine dato da:

${\displaystyle \operatorname {Sol} (A|\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A|\mathbf {0} )}$

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.^[3]

Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono il nucleo dell'applicazione ${\displaystyle L_{A}}$ , e per il teorema della dimensione il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione ${\displaystyle n-\operatorname {rk} (A)}$ . Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore ${\displaystyle x}$ , è un sottospazio affine della stessa dimensione.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.

• Rango (algebra lineare)
• Sistema di equazioni lineari
• Sottospazio affine
• Teorema del rango

• Rouche-Capelli, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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