積分因子

${\displaystyle n}$ 次元多様体 ${\displaystyle M}$ の領域 ${\displaystyle U}$ で定義された 1-形式 ${\displaystyle \psi }$ について

が成立するような関数 ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle g}$ (ただし ${\displaystyle f\neq 0}$ ) が存在するとき、${\displaystyle 1/f}$ を ${\displaystyle \psi }$ の積分因子と呼ぶ^[2][3][4]。1-形式 ${\displaystyle \psi }$ の積分因子の存在に関して、カラテオドリの定理は以下の3命題が同値であることを主張する^[4]。

1. ${\displaystyle M}$ の任意の点 ${\displaystyle x}$ について、点 ${\displaystyle x}$ の近傍 ${\displaystyle V}$ が存在し、${\displaystyle V}$ 内の任意の ${\displaystyle x}$ の近傍 ${\displaystyle W}$ に、区分的 ${\displaystyle C^{\infty }}$ -級曲線 ${\displaystyle \gamma }$ であって ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ が定義されるすべての点で ${\displaystyle \psi \{{\dot {\gamma }}(t)\}=0}$ を満たすような曲線 ${\displaystyle \gamma }$ によって点 ${\displaystyle x}$ と結ばれることのないような点 ${\displaystyle y\in W}$ が存在する。
2. ${\displaystyle \psi \wedge d\psi =0}$
3. 任意の点 ${\displaystyle x\in M}$ にある近傍 ${\displaystyle V}$ が存在し、${\displaystyle \psi }$ の ${\displaystyle V}$ への制限は積分因子を持つ。

この定理は1909年にコンスタンティン・カラテオドリによって熱力学第二法則の定式化のために導入された^[5][6]。${\displaystyle \psi }$ が閉形式（すなわち ${\displaystyle d\psi =0}$ が成立するもの）であればポアンカレの補題により積分因子 ${\displaystyle 1}$ が存在する^[7]。また ${\displaystyle n\leq 2}$ のときカラテオドリの定理によりすべての 1-形式について積分因子の存在が保証される（これはJohann Friedrich Pfaffによって最初に示された）^[2][3]。

次のような1階の線形常微分方程式を考える。

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)\quad \quad \quad (1)}$

この方程式に対し、適当な積分因子${\displaystyle M(x)}$ を (1) 式の両辺に掛け、左辺に積の微分の公式を適用できるようにすると、

${\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y=M(x)Q(x)\quad \quad \quad (2)}$

${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)Q(x)\quad \quad \quad (3)}$

となるから、(3) 式を積分して

${\displaystyle yM(x)=\int Q(x)M(x)\,dx}$

となり、これよりもとの微分方程式の解として

${\displaystyle y={\frac {\int Q(x)M(x)\,dx}{M(x)}}\,}$

が得られる。

次に積分因子${\displaystyle M(x)}$ を具体的に求める。(2), (3) 式それぞれの左辺が等しくなるように${\displaystyle M(x)}$ をとっていることから、

${\displaystyle M'(x)y+M(x)y'=M(x)y'+M(x)P(x)y\quad \quad \quad }$

となり、${\displaystyle M(x)}$ がつぎの微分方程式

${\displaystyle M'(x)=M(x)P(x)\quad \quad \quad (4)\,}$

を満たすことがわかる。この式を変形すると、

${\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}=P(x)\quad \quad \quad (5)\,}$

${\displaystyle (\ln M(x))'=P(x)}$

したがって

${\displaystyle M(x)=\exp \left(\int P(x)\,dx\right)}$

となる。

• Joakim Munkhammar. "Integrating Factor". mathworld.wolfram.com (英語).