onde é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de em torno do ponto . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem em torno de de uma dada função -vezes diferenciável neste ponto é dado por:[1][2][3][4][5][6][7][8]
No caso particular de , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.
Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.
A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:
O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:
As Séries de Maclaurin são um caso especial das Séries de Taylor onde :
Dessa forma, a série pode ser expandida como:
Logo:
Escrevendo-se a Série da Maclaurin de forma geral:
Série de Maclaurin para o
Para o , tem-se que:
Derivadas
Substituindo-se as derivadas na série, tem-se que:
Observa-se, que as derivadas segunda, quarta, sexta e oitava. Logo, os termos da série com elevado a alguma potência par não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:
Realizando-se a multiplicação e simplificando os expoentes:
Dessa forma, a série pode ser escrita como:
Série de Maclaurin para o
Para o , tem-se que:
Derivadas
Observa-se, que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero. Logo, os termos da série com elevado a alguma potência ímpar não precisam ser escritos, já que serão iguais a zero. Desse modo, a série assume a forma:
Substituindo-se os valores das derivadas e da na série obtem-se:
Realizando-se a multiplicação e simplificando o 1° termo:
Heinrich Auchter. Brook Taylor, der mathematiker und philosoph; beiträge zur wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch, 1937. OCLC13481133 (em alemão)
Edmundo Capelas de Oliveira, Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica ISBN 8-588-32542-X
Steven C. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil, 2013 ISBN 8-580-55177-3