Определение 1. Многочленом Тейлора функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} вещественной переменной x {\displaystyle x} дифференцируемой k {\displaystyle k} a {\displaystyle a}
∑ n = 0 k f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ( 2 ) ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + … + f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k {\displaystyle \sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}} используемая в приближённых вычислениях , как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:
при x − a = h → 0 {\displaystyle x-a=h\to 0} f ( x ) = f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ⋅ h + O ( h 2 ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ⋅ h = f ( a ) + f ′ ( a ) ⋅ ( x − a ) {\displaystyle f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)} При записи суммы использованы обозначение f ( 0 ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)} 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} ( x − a ) 0 = 1 {\displaystyle (x-a)^{0}=1}
2. Рядом Тейлора в точке a {\displaystyle a} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} формальный степенной ряд
f ( x ) = ∑ n = 0 + ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n = ∑ n = 0 + ∞ φ n ( x ; a ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)} φ n ( x ; a ) = f ( n ) ( a ) n ! ⋅ ( x − a ) n {\displaystyle \varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}} a {\displaystyle a} Другими словами, рядом Тейлора функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} a {\displaystyle a} ( x − a ) {\displaystyle (x-a)}
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + … + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + … {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,} [3] Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a}
3. Рядом Тейлора в точке a {\displaystyle a} f ( z ) {\displaystyle f(z)} z {\displaystyle z} U ⊆ C {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} } a {\displaystyle a} условиям Коши — Римана ,называется степенной ряд
f ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( z − a ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}} В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса R > 0 {\displaystyle R>0} D R = { z ∈ C : | z − z 0 | < R } ⊆ U {\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U} f ( z ) {\displaystyle f(z)}
4. В случае a = 0 {\displaystyle a=0}
f ( x ) = ∑ n = 0 + ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}} называется рядом Маклорена .
Аналитическая функция 1. Функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} аналитической в точке x = a {\displaystyle x=a} R > 0 {\displaystyle R>0} c k = c k ( a ) = c k ( a ; f ) {\displaystyle c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,} k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\dots \,} f ( x ) {\displaystyle f(x)} ( a − R ; a + R ) {\displaystyle (a-R;a+R)} ∑ k = 0 + ∞ c k ( x − a ) k {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,} ∀ x ∈ ( a − R ; a + R ) {\displaystyle \forall x\in (a-R;a+R)} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } lim n → + ∞ ∑ k = 0 n c k ( x − a ) k = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)}
Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).
2. Степенной ряд ∑ k = 0 + ∞ c k ( z − a ) k {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}} подмножестве K {\displaystyle K} D R = { z ∈ C : | z − z 0 | < R } {\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}}
Если в k {\displaystyle k} ∑ k = 0 + ∞ c k ( z − a ) k {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}} z = a {\displaystyle z=a} c k ⋅ k ! {\displaystyle {c_{k}}\cdot k!}
Таким образом, для аналитической в точке a {\displaystyle a} f ( z ) {\displaystyle f(z)} R > 0 {\displaystyle R>0} D R = { z ∈ C : | z − z 0 | < R } {\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}} f ( z ) = ∑ k = 0 + ∞ f ( k ) ( a ) k ! ( z − a ) k {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}}
Следствие. Функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a}
3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке a {\displaystyle a} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} ∑ k = 0 + ∞ f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k {\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} ( a − R ; a + R ) {\displaystyle (a-R;a+R)} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
Ответ: нет.Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a {\displaystyle a}
Примеры. Функции вещественной переменной f 2 ( x ) = { e − 1 x 2 , x ≠ 0 0 , x = 0 {\displaystyle f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,} f + ( x ) = { e − 1 x , x > 0 0 , x ≤ 0 {\displaystyle f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,} f v ( x ) = { e − 1 | x | , x ≠ 0 0 , x = 0 {\displaystyle f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,} x = 0 {\displaystyle x=0}
Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром a = 0 {\displaystyle a=0} R > 0 {\displaystyle R>0} ( − R ; + R ) {\displaystyle (-R;+R)} a = 0 {\displaystyle a=0} 0 {\displaystyle 0} a = 0 {\displaystyle a=0}
Доказательство проведём для функции f ( x ) = f 2 ( x ) = { e − 1 x 2 , x ≠ 0 0 , x = 0 {\displaystyle f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,} Огюстеном Луи Коши .
Функция exp ( − 1 z 2 ) {\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)} z ∈ C ¯ ∖ { 0 } {\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}}
Для z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} d d z exp ( − 1 z 2 ) = exp ( − 1 z 2 ) ⋅ ( 2 z 3 ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)}
Функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } exp ( − 1 x 2 ) {\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)} x ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} lim x → 0 , x < 0 exp ( − 1 x 2 ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0} lim x → 0 , x > 0 exp ( − 1 x 2 ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0} x = 0 {\displaystyle x=0}
Найдём производную функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} x = 0 {\displaystyle x=0} f ′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 , Δ x ∈ R ∖ { 0 } f ( 0 + Δ x ) − f ( 0 ) Δ x = lim h → 0 , h ∈ R ∖ { 0 } f ( h ) − 0 h = 0 0 = lim h → 0 , h ∈ R ∖ { 0 } f ′ ( h ) h ′ = lim h → 0 , h ∈ R ∖ { 0 } 2 f ( h ) h 3 {\displaystyle f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}}
Поскольку для x ∈ ( 0 ; 1 ) {\displaystyle x\in (0;1)} 0 < e − 1 x 2 < e − 1 x {\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}} α > 0 {\displaystyle \alpha >0} lim x → 0 , x > 0 e − 1 x x α = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0}
Применение правила Лопиталя непосредственно к частям
lim x → 0 , x > 0 e − 1 x = lim x → 0 , x > 0 x α = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0} Выполним замену переменной: 1 x = t {\displaystyle {\frac {1}{x}}=t}
lim x → 0 , x > 0 e − 1 x x α = lim t → + ∞ t α e t = + ∞ + ∞ = lim t → + ∞ α t α − 1 e t {\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}}
Пусть k = ⌈ α ⌉ {\displaystyle k=\lceil \alpha \rceil } k {\displaystyle k} α = k {\displaystyle \alpha =k} k ! {\displaystyle k!} α < k {\displaystyle \alpha <k} α ( α − 1 ) … ( α − k + 1 ) t α − k {\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}
lim t → + ∞ t α e t = + ∞ + ∞ = … = lim t → + ∞ α ( α − 1 ) … ( α − k + 1 ) t α − k e t = 0 {\displaystyle \lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0} Таким образом,
f ′ ( 0 ) = lim h → 0 , h ∈ R ∖ { 0 } 2 f ( h ) h 3 = 0 {\displaystyle f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0} Найдём (для x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
f ′ ( x ) = 2 f ( x ) x 3 {\displaystyle f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}} f ″ ( x ) = ( 2 f ( x ) x 3 ) ′ = 2 ( f ′ ( x ) 1 x 3 + f ( x ) ( 1 x 3 ) ′ ) = 2 ( 2 f ( x ) x 3 1 x 3 + f ( x ) ( 1 x 3 ) ′ ) = 2 f ( x ) ( 2 x 6 − 3 x 4 ) {\displaystyle f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)} f ‴ ( x ) = ( 2 f ( x ) ( 2 x 6 − 3 x 4 ) ) ′ = 4 f ( x ) ( 2 x 9 − 3 x 7 + 6 x 5 − 6 x 7 ) {\displaystyle f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)} И так далее. Во всех случаях, очевидно,получается произведение f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} lim x → 0 , x ∈ R ∖ { 0 } f ( k ) ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0}
Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные f ( x ) {\displaystyle f(x)} x = 0 {\displaystyle x=0} x = 0 {\displaystyle x=0}
Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса .
Область сходимости ряда Тейлора Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке a {\displaystyle a} a {\displaystyle a}
1. Например, функция f ( x ) = 1 1 − x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}} 1 1 − x = ∑ k = 0 ∞ x k {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}} 1 1 − x {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}} x = 1 {\displaystyle x=1} ∑ k = 0 ∞ x k {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}} | x | < 1 {\displaystyle |x|<1}
2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:
R = lim k → ∞ | f ( k ) ( a ) k ! f ( k + 1 ) ( a ) ( k + 1 ) ! | = lim k → ∞ | f ( k ) ( a ) f ( k + 1 ) ( a ) ( k + 1 ) | {\displaystyle R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|} 3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию e x {\displaystyle e^{x}} R = lim k → ∞ | e a e a ( k + 1 ) | = lim k → ∞ ( k + 1 ) = ∞ {\displaystyle R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty } x {\displaystyle x} a {\displaystyle a}
a {\displaystyle a}
Например, разложим в общем случае (для произвольного a {\displaystyle a} f ( x ) = 1 1 − x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}} f ( x ) = 1 1 − x = 1 1 − a ∑ k = 0 ∞ ( x − a 1 − a ) k {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}}
Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} a = 1 {\displaystyle a=1}
Действительно,
1 1 − a ∑ k = 0 ∞ ( x − a 1 − a ) k = 1 1 − a ⋅ 1 1 − ( x − a 1 − a ) = 1 1 − x {\displaystyle {\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}} Область сходимости ряда может быть задана неравенством | x − a 1 − a | < 1 {\displaystyle \left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1} a {\displaystyle a} a = 0 {\displaystyle a=0} x ∈ ( − 1 ; 1 ) {\displaystyle x\in (-1;1)} a = 0 , 5 {\displaystyle a=0{,}5} x ∈ ( 0 ; 1 ) {\displaystyle x\in (0;1)}
Формула Тейлора Предположим, что функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} n + 1 {\displaystyle n+1} x = a {\displaystyle x=a} P n ( x ) {\displaystyle {P_{n}}(x)} n {\displaystyle n} x = a {\displaystyle x=a} f ( x ) {\displaystyle f(x)} n {\displaystyle n} x = a {\displaystyle x=a} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид P n ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k {\displaystyle {P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}} n {\displaystyle n} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ( x ) {\displaystyle f(x)} P n ( x ) {\displaystyle {P_{n}}(x)} R n ( x ) = f ( x ) − P n ( x ) {\displaystyle {R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)} f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) {\displaystyle f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)} [4] n + 1 {\displaystyle n+1} a {\displaystyle a} дифференциальном исчислении .Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша
В форме Лагранжа :
R n ( x ) = ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) [ a + θ ( x − a ) ] p = n + 1 ; 0 < θ < 1 {\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1} Продифференцируем по x {\displaystyle x} n {\displaystyle n} 1 ) f ( x ) ′ = f ( a ) ′ + ∑ k = 2 n f ( k ) ( a ) ( k − 1 ) ! ( x − a ) k − 1 + R n ( x ) ′ 2 ) f ( x ) ″ = f ( a ) ″ + ∑ k = 3 n f ( k ) ( a ) ( k − 2 ) ! ( x − a ) k − 2 + R n ( x ) ″ . . . n − 1 ) f ( x ) ( n − 1 ) = f ( a ) ( n − 1 ) + f ( n ) ( a ) ( x − a ) + R n ( x ) ( n − 1 ) n ) f ( x ) ( n ) = f ( n ) ( a ) + R n ( x ) ( n ) {\displaystyle {\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(x-a)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x)''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!}}{{(x-a)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1)}}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(x-a)+{R_{n}}{(x)^{(n-1)}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}}\end{array}}} (Отсюда, в частности, видно, что R n ( a ) = R n ( a ) ′ = R n ( a ) ″ = . . . = R n ( a ) ( n ) = 0 {\displaystyle {R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0} По теореме Лагранжа (поскольку f ( x ) {\displaystyle f(x)} ξ {\displaystyle \xi } x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} ξ {\displaystyle \xi } x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} f ( x ) ( n ) − f ( n ) ( a ) = f ( ξ ) ( n + 1 ) ( x − a ) {\displaystyle f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)} R n ( x ) ( n ) = f ( ξ ) ( n + 1 ) ( x − a ) {\displaystyle {R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)} x {\displaystyle x} R n ( x ) ( n + 1 ) = f ( ξ ) ( n + 1 ) {\displaystyle {R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}} Пусть остаточный член задан в виде R n ( x ) = f ( ξ ) ( n + 1 ) ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! {\displaystyle {R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}} x = a {\displaystyle x=a} R n ( x ) ( n + 1 ) = f ( ξ ) ( n + 1 ) {\displaystyle {R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}} ξ = a + θ ( x − a ) , 0 < θ < 1 {\displaystyle \xi =a+\theta (x-a),\qquad 0<\theta <1} В форме Коши :
R n ( x ) = ( x − a ) n + 1 ( 1 − θ ) n n ! f ( n + 1 ) [ a + θ ( x − a ) ] p = 1 ; 0 < θ < 1 {\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1} В интегральной форме:
R n ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t {\displaystyle R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt} Методом интегрирования по частям получим R n ( x ) = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( n + 1 ) ( t ) d t = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n d f ( n ) ( t ) = 1 n ! ( ( x − t ) n f ( n ) ( t ) ) | a x − 1 n ! ∫ a x f ( n ) ( t ) d ( x − t ) n = = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( n ) ( t ) d t − ( x − a ) n f ( n ) ( a ) n ! = . . . = ∫ a x f ′ ( t ) d t − ∑ k = 1 n f ( k ) ( a ) ( x − a ) k k ! = f ( x ) − ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) ( x − a ) k k ! {\displaystyle {\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}} откуда f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) ( x − a ) k k ! + R n ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)} Ослабим предположения:
Пусть функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} n − 1 {\displaystyle n-1} a {\displaystyle a} n {\displaystyle n} a {\displaystyle a} В асимптотической форме (форме Пеано , локальной форме): R n ( x ) = o [ ( x − a ) n ] {\displaystyle R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]} Поскольку R n ( a ) = R n ( a ) ′ = R n ( a ) ″ = . . . = R n ( a ) ( n ) = 0 {\displaystyle {R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0} R n ( x ) ( x − a ) n {\displaystyle {\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}} x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} lim x → a R n ( x ) ( x − a ) n = lim x → a R n ( x ) ′ ( ( x − a ) n ) ′ = lim x → a R n ( x ) ″ ( ( x − a ) n ) ″ = . . . = lim x → a R n ( x ) ( n ) ( ( x − a ) n ) ( n ) = lim x → a R n ( x ) ( n ) n ! = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)''}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(x-a)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!}}=0} Поскольку предел равен нулю, это значит, что остаточный член R n ( x ) {\displaystyle R_{n}(x)} ( x − a ) n {\displaystyle (x-a)^{n}} x → a {\displaystyle x\to a} Критерий аналитичности функции Предположим, что некоторую функцию f ( x ) {\displaystyle f(x)} x = a {\displaystyle x=a} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a}
Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка x = a {\displaystyle x=a} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} lim n → ∞ R n ( x ) = lim n → ∞ ( f ( x ) − P n ( x ) ) = f ( x ) − lim n → ∞ P n ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)} lim n → ∞ P n ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}(x)}
Очевидно, что функция f ( x ) {\displaystyle f(x)} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} X {\displaystyle X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} n {\displaystyle n} lim n → ∞ R n ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0}
В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию e x {\displaystyle e^{x}} x {\displaystyle x} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a}
Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид R n ( x ) = ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! e ξ n {\displaystyle {R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}} ξ n {\displaystyle \xi _{n}} x {\displaystyle x} a {\displaystyle a}
lim n → ∞ R n ( x ) = lim n → ∞ ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! e ξ n ≤ M ⋅ lim n → ∞ ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0} Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом M {\displaystyle M}
Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых x {\displaystyle x} a {\displaystyle a}
Ряды Маклорена некоторых функций Экспонента : e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , x ∈ C . {\displaystyle \displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} .} Натуральный логарифм («ряд Меркатора »): ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n + 1 ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n n {\displaystyle \displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}} − 1 < x ≤ 1. {\displaystyle -1<x\leq 1.} Биномиальное разложение : ( 1 + x ) α = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( α n ) x n , {\displaystyle \displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},} | x | < 1 {\displaystyle \left|x\right|<1} α , {\displaystyle \alpha ,} ( α n ) = ∏ k = 1 n α − k + 1 k = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! {\displaystyle \displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}} биномиальные коэффициенты .Квадратный корень [6] 1 + x = 1 + 1 2 x − 1 ⋅ 1 2 ⋅ 4 x 2 + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 3 − 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 x 4 + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 x 5 − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( 2 n ) ! 2 2 n ( 2 n − 1 ) ( n ! ) 2 x n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) ( 2 n − 1 ) x n {\displaystyle \displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-1)}}x^{n}} | x | ≤ 1. {\displaystyle |x|\leq 1.} Обратный квадратный корень[6] 1 1 + x = 1 − 1 2 x + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 x 2 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 3 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 x 4 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 10 x 5 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 x n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) x n {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}x^{n}} − 1 < x ≤ 1. {\displaystyle -1<x\leq 1.} Геометрические ряды [en] * 1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle {\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n}} | x | < 1. {\displaystyle |x|<1.} 1 ( 1 − x ) 2 = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 {\displaystyle {\dfrac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}} | x | < 1. {\displaystyle |x|<1.} 1 ( 1 − x ) 3 = 1 + 3 x + 6 x 2 + 10 x 3 + ⋯ = ∑ n = 2 ∞ ( n − 1 ) n 2 x n − 2 {\displaystyle {\dfrac {1}{(1-x)^{3}}}=1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}} | x | < 1. {\displaystyle |x|<1.} Конечный геометрический ряд: 1 − x m + 1 1 − x = ∑ n = 0 m x n {\displaystyle \displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n}} x ≠ 1 , m ∈ N 0 . {\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}.} Тригонометрические функции [6] [7] Синус: sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + x 9 9 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , x ∈ C . {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .} Косинус: cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! , x ∈ C . {\displaystyle \displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .} Тангенс: tg x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 {\displaystyle \displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}} | x | < π 2 , {\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},} B 2 n {\displaystyle B_{2n}} числа Бернулли . Котангенс: ctg x = x − 1 − 1 3 x − 1 45 x 3 − 2 945 x 5 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 {\displaystyle \displaystyle \operatorname {ctg} \ x=x^{-1}-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}-{\tfrac {2}{945}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}} 0 < | x | < π , {\displaystyle 0<|x|<\pi ,} B 2 n {\displaystyle B_{2n}} числа Бернулли . Секанс: sec x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \displaystyle \sec x=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}} | x | < π 2 , {\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},} E 2 n {\displaystyle E_{2n}} числа Эйлера . Косеканс: cosec x = x − 1 + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 {\displaystyle \displaystyle \operatorname {cosec} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}} 0 < | x | < π , {\displaystyle 0<|x|<\pi ,} B 2 n {\displaystyle B_{2n}} числа Бернулли . Обратные тригонометрические функции [6] [8] Арксинус: arcsin x = x + 1 2 ⋅ 3 x 3 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 x 5 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 x 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 x 2 n + 1 2 n + 1 {\displaystyle \arcsin x=x+{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}} | x | ≤ 1 {\displaystyle \left|x\right|\leq 1} [9] Арккосинус: arccos x = π 2 − arcsin x = π 2 − x − 1 2 ⋅ 3 x 3 − 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 x 5 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 x 7 − ⋯ = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) 2 = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 x 2 n + 1 2 n + 1 {\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}} | x | ≤ 1. {\displaystyle \left|x\right|\leq 1.} Арктангенс: arctg x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n − 1 x 2 n − 1 {\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}} | x | ≤ 1. {\displaystyle \left|x\right|\leq 1.} Арккотангенс: arcctg x = π 2 − arctg x = π 2 − x + x 3 3 − x 5 5 + x 7 7 − ⋯ = π 2 − ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n − 1 x 2 n − 1 {\displaystyle \operatorname {arcctg} x={\pi \over 2}-\operatorname {arctg} x={\pi \over 2}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}} | x | ≤ 1. {\displaystyle \left|x\right|\leq 1.} Гиперболические функции [6] [10] Гиперболический синус: sh x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , x ∈ C . {\displaystyle \operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .} Гиперболический косинус: ch x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! , x ∈ C . {\displaystyle \operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .} Гиперболический тангенс: th x = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n ( 2 2 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 {\displaystyle \operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}} | x | < π 2 . {\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.} Гиперболический котангенс: cth x = x − 1 + 1 3 x − 1 45 x 3 + 2 945 x 5 − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 {\displaystyle \operatorname {cth} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}} 0 < | x | < π . {\displaystyle 0<|x|<\pi .} Гиперболический секанс: sech x = 1 − 1 2 x 2 + 5 24 x 4 − 61 720 x 6 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \operatorname {sech} x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}-{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}} | x | < π 2 . {\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.} Гиперболический косеканс: cosech x = x − 1 − 1 6 x + 7 360 x 3 − 31 15120 x 5 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 {\displaystyle \operatorname {cosech} x=x^{-1}-{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}-{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}} 0 < | x | < π . {\displaystyle 0<|x|<\pi .} Обратные гиперболические функции [6] [11] Гиперболический арксинус: arsh x = x − 1 2 ⋅ 3 x 3 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 5 x 5 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 x 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 x 2 n + 1 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {arsh} x=x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}} | x | ≤ 1. {\displaystyle \left|x\right|\leq 1.} Гиперболический арктангенс: arth x = x + 1 3 x 3 + 1 5 x 5 + 1 7 x 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {arth} x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{5}}x^{5}+{\tfrac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}} | x | < 1. {\displaystyle \left|x\right|<1.} W-функция Ламберта : W 0 ( x ) = x − x 2 + 3 x 3 2 − 8 x 4 3 + 125 x 5 24 − ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n ! x n , | x | ≤ 1 / e . {\displaystyle W_{0}(x)=x-x^{2}+{\dfrac {3x^{3}}{2}}-{\dfrac {8x^{4}}{3}}+{\dfrac {125x^{5}}{24}}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},|x|\leq 1/e.} Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
T = ( x − x 0 ) ∂ ∂ x + ( y − y 0 ) ∂ ∂ y {\displaystyle \mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {\partial }{\partial x}}+(y-y_{0}){\dfrac {\partial }{\partial y}}} Тогда разложение (формула Тейлора) функции f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} ( x − x 0 ) p ( y − y 0 ) q {\displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}} p + q ≤ n {\displaystyle p+q\leq n} ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
f ( x , y ) = ∑ k = 0 n T k f ( x 0 , y 0 ) k ! + R n ( x , y ) , {\displaystyle f(x,y)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(x_{0},y_{0})}{k!}}+R_{n}(x,y),} где R n ( x , y ) {\displaystyle R_{n}(x,y)}
R n ( x , y ) = T ( n + 1 ) f ( ξ , ζ ) ( n + 1 ) ! , ξ ∈ [ x 0 , x ] , ζ ∈ [ y 0 , y ] {\displaystyle R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]} Следует иметь в виду, что операторы ∂ ∂ x {\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial x}}} ∂ ∂ y {\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial y}}} T k {\displaystyle \mathrm {T} ^{k}} f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} ( x − x 0 ) {\displaystyle (x-x_{0})} ( y − y 0 ) {\displaystyle (y-y_{0})}
Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе T {\displaystyle \mathrm {T} }
В случае функции одной переменной T = ( x − x 0 ) d d x {\displaystyle \mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,}
Формула Тейлора многих переменных Для получения формулы Тейлора функции n {\displaystyle n} f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})} ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})} ( m + 1 ) {\displaystyle (m+1)}
T = ( x 1 − a 1 ) ∂ ∂ x 1 + ( x 2 − a 2 ) ∂ ∂ x 2 + . . . + ( x n − a n ) ∂ ∂ x n . {\displaystyle \mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){\dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.} Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням ( x i − a i ) k i {\displaystyle (x_{i}-a_{i})^{k_{i}}} ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}
f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) = ∑ k = 0 m T k f ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) k ! + R m ( x 1 , x 2 , . . . x n ) , {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),} где R m ( x 1 , x 2 , . . . x n ) {\displaystyle R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n})} ( m + 1 ) {\displaystyle (m+1)}
Для функции n {\displaystyle n} ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}
f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ∑ i 1 = 1 n ∑ i 2 = 1 n . . . ∑ i k = 1 n ∂ k f ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∂ x i 1 ∂ x i 2 . . . ∂ x i k ( x i 1 − a 1 ) ( x i 2 − a 2 ) . . . ( x i n − a n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i_{1}=1}^{n}\sum \limits _{i_{2}=1}^{n}...\sum \limits _{i_{k}=1}^{n}{\frac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{i_{1}}\partial x_{i_{2}}...\partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})}
В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:
f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ k 1 = 0 ∑ k 2 = 0 . . . ∑ k n = 0 ⏞ k 1 + k 2 + . . . + k n = k 1 k 1 ! k 2 ! . . . k n ! ∂ k f ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∂ x 1 k 1 ∂ x 2 k 2 . . . ∂ x n k n ( x 1 − a 1 ) k 1 ( x 2 − a 2 ) k 2 . . . ( x n − a n ) k n {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\overbrace {\sum \limits _{k_{1}=0}\sum \limits _{k_{2}=0}...\sum \limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}}
Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)} T {\displaystyle \mathrm {T} }
T = x ∂ ∂ x + y ∂ ∂ y + z ∂ ∂ z . {\displaystyle \mathrm {T} =x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+y{\dfrac {\partial }{\partial y}}+z{\dfrac {\partial }{\partial z}}.} Разложение в ряд Тейлора запишется в виде
f ( x , y , z ) = ∑ k = 0 2 T k f 0 k ! + R 2 ( x , y , z ) = {\displaystyle f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=} = ( 1 + T + T 2 2 ) f 0 + R 2 ( x , y , z ) ; {\displaystyle =\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);} Учитывая, что
T 2 = x 2 ∂ 2 ∂ x 2 + y 2 ∂ 2 ∂ y 2 + z 2 ∂ 2 ∂ z 2 + 2 x y ∂ 2 ∂ x ∂ y + 2 x z ∂ 2 ∂ x ∂ z + 2 y z ∂ 2 ∂ y ∂ z , {\displaystyle T^{2}=x^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+y^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+2xy{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}+2xz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial z}}+2yz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y\partial z}},} получим
f ( x , y , z ) = f 0 + x ∂ f 0 ∂ x + y ∂ f 0 ∂ y + z ∂ f 0 ∂ z + x 2 2 ∂ 2 f 0 ∂ x 2 + y 2 2 ∂ 2 f 0 ∂ y 2 + z 2 2 ∂ 2 f 0 ∂ z 2 + {\displaystyle f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial y}}+z{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial z}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2}}}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+} + x y ∂ 2 f 0 ∂ x ∂ y + x z ∂ 2 f 0 ∂ x ∂ z + y z ∂ 2 f 0 ∂ y ∂ z + R 2 ( x , y , z ) . {\displaystyle +xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).} Например, при f ( x , y , z ) = e x + y + z {\displaystyle f(x,y,z)=e^{x+y+z}}
f ( x , y , z ) = 1 + x + y + z + x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + x y + x z + y z + R 2 ( x , y , z ) . {\displaystyle f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).} Примечания Литература Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Universum 2024 1(118) DOI - 10.32743/UniTech.2024.118.1.16645.Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.Маркушевич А. И. М. : Наука , 1967 . — Т. 1: Начала теории. — 486 с.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М. : Мир , 1971 . — 232 с.Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования . — М. : Наука , 1980. — № 25 . — С. 10—24 .Пискунов Н. С. М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы , 1985 . — Т. 1. — 432 с.Пискунов Н. С. М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы , 1985 . — Т. 2. — 560 с.Фихтенгольц Г. М. М. : ФИЗМАТЛИТ , 2003 . — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0 .
,
верно
.
с общим членом
, зависящим от параметра
.[3]
.
не приводит к результату.
.
.
.
.
![{\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9581ea19ed64de9723d6f3725f0470e9a0f23c)
— это свойство остаточного члена в любой форме.)
между
. Отсюда
. Продифференцируем последнее тождество ещё раз по
.
. Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке
. Формула выведена.
![{\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616cdc3cb043af06990a174a073b35ea0e3fbee1)
производную в некоторой окрестности точки
![{\displaystyle R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7eca3be3644e41dedb8f25e26357ddb9a08386d)
при
является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем
, при
. А это и есть определение о-малого.
для всех
для всех
и всех комплексных
где
— обобщённые биномиальные коэффициенты.
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
где
— числа Бернулли.
для всех
где
для всех
— числа Эйлера.
для всех
для всех
[9].
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
.
![{\displaystyle R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144e134c30b8d4c579305c2bbaf6591647deb6c9)
