ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮುಂಚಿನ ಜ್ಞಾನದ ಸಕ್ರಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ 13 ಪುಸ್ತಕಗಳಿವೆ:

೧-೪ ಮತ್ತು ೬ ನೇ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ "ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅವುಗಳು ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತವೆ." (ಪುಸ್ತಕ ೧ ಪ್ರಮೇಯ ೧೭) ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ "ಸಮಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪಾರ್ಶ್ವದ ವರ್ಗವು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ." (ಪುಸ್ತಕ ೧, ಪ್ರಮೇಯ ೪೭)

ಪುಸ್ತಕ ೫ ಮತ್ತು ೭-೧೦ ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಆಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಮೇಯ ಹಾಗೂ ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪುಸ್ತಕಗಳು ೧೧-೧೩ ಘನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ತಳರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಂಕು ಮತ್ತು ಉರುಳೆಯ ಪರಿಮಾಣದ ನಡುವಿನ ೧: ೩ ಅನುಪಾತ. ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಘನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳು

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಒಂದು ಆಧಾರಸೂತ್ರ ರೂಪದ ಪದ್ಧತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಳ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳಿಂದ ಬಂದಿವೆ. ಅಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆಗಮನದವರೆಗೂ, ಈ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎಲ್ಲ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿವೆ.

ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಳಿ, ಯುಕ್ಲಿಡ್ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಐದು ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾನೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ರಚನೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ.^[೨]

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಭಾವಿಸಿಕೊಂಡಿರಲಿ:

1. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವುದು.
2. ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು.
3. ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅಂತರದೊಂದಿಗೆ (ತ್ರಿಜ್ಯ) ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು.
4. ಎಲ್ಲ ಲಂಬ ಕೋನಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ರಚಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತಾನಾದರೂ, ಅವನ ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಅನನ್ಯವೆಂದು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಭಾವಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಐದು "ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳನ್ನು" ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1. ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
2. ಸಮಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ಸಮಾನವನ್ನು ಸಮಾನದಿಂದ ಕಳೆಯುವುದಾದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
4. ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.
5. ಪೂರ್ಣವು ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ಗೆ ತನ್ನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಬೇಕಿದ್ದ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‍ನ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಆಧುನಿಕ ವಿದ್ವಾಂಸರು ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ.^[೩] ಆಧುನಿಕ ನಿರೂಪಣೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತ

ಪ್ರಾಚೀನರಿಗೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತವು ಇತರವುಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿತು. ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಆಶಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಂದ ಪುರಾವೆಗಳು ಬೇಕೆಂದು ತೋರಿತು. ಅಂತಹ ಪುರಾವೆ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಈಗ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಬ್ಬರು ಸಮಾನಾಂತರ ಅಭಿಗೃಹೀತವು ನಿಜವಿರುವ ಸಮಂಜಸವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದು ಸುಳ್ಳಿರುವ ಇತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.^[೪] ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ರಚನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿತವಾಗಿರುವಂತೆ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಸ್ವತಃ ಇದನ್ನು ಇತರವುಗಳಿಗಿಂತ ಗುಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಭಿನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ: ಅವನ ಮೊದಲ ೨೮ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಇದು ಇಲ್ಲದೆಯೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

1. ಬಿಂದು ಎಂದರೆ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಬೇರೆ ಭಾಗವಿರುವುದಿಲ್ಲವೋ ಅದು.^[೫]

2. ಅಗಲವಿಲ್ಲದೆ, ಉದ್ದ ಮಾತ್ರ ಇರುವುದು ರೇಖೆ.

10. ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತಾಗ ಏರ್ಪಡುವ ಉಭಯ ಪಾರ್ಶ್ವಕೋನಗಳೆರಡೂ (adjacent angle) ಪರಸ್ಪರ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವಕ್ಕೆ ಲಂಬಕೋನಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು.^[೬] ಹೀಗೆ ನಿಂತ ರೇಖೆ ಮತ್ತೊಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದೆ (perpendicular) ಎಂದು ಹೇಳುವುದಿದೆ.^[೭]

1. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.
2. ಒಂದು ಪರಿಮಿತ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು (finite straight line) ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಸಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
3. ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವಂತೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.
4. ಎಲ್ಲ ಲಂಬಕೋನಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮ.
5. ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ದತ್ತ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿದಾಗ ಒಂದೇ ಕಡೆ ಉಂಟಾದ ಅಂತರ್ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ, ಅಂತರ್ಕೋನಗಳ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಎರಡು ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನೂ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಸಿದಾಗ ಅವು ಅದೇ ಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ಲೇಫೇರ್‌ನ ಭಾವನೆ

ಈಗ ಯೂಕ್ಲಿಡನ 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು ಕುರಿತು ವಿಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಮೂಲಭಾವನೆಗಳು ಭೌತಪ್ರಪಂಚದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸತ್ಯಗಳೆಂದೂ ಅವು ತುಂಬ ಸರಳವೂ ಸುಂದರವೂ ಆಗಿದ್ದು, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸ್ವಯಂಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಹೀಗಿರುವಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡನ 5ನೆಯ ಸ್ವೀಕೃತ ಭಾವನೆ ಉಳಿದ ನಾಲ್ಕರಂತೆ ಸರಳವೂ ಅಷ್ಟು ಸ್ವಯಂಸ್ಪಷ್ಟವೂ ಆಗಿರಲಿಲ್ಲ. ನಿಜಕ್ಕೂ ಇದರ ವಿಲೋಮ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪುಸ್ತಕ 1ರ ಪ್ರಮೇಯ 17ರಲ್ಲಿ ಸಾಧಿತವಾಗಿದೆ. 5ನೆಯ ಅಭಿಗೃಹೀತವನ್ನು ಇತರ ಮೂಲಾಧಾರಗಳಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವೊಂದಾಗಿ ಸಾಧಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳೂ ಹೇರಳವಾಗಿ ನಡೆದವು. ಕಾಲಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಈ ಭಾವನೆಗೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿಯೂ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಬೇರೊಂದು ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳೂ ನಡೆದವು.^[೮] ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ಪ್ಲೇಫೇರ್ (1748-1819) ಎಂಬಾತನ ಭಾವನೆ ಗಮನಾರ್ಹ. ಏಕೆಂದರೆ ಈಗ ಬೋಧಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಜಾಮಿತಿಯ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇದೇ ಉಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೇ ಮುಂದೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರೋಧ ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಬೇರೆ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು ರೂಢಿಸಿಕೊಂಡು ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅವತರಣಿಕೆಗಳಿಗೂ ಪ್ಲೇಫೇರನ ಉಕ್ತಿ ನಾಂದಿಯಾಯಿತು. ಆ ಉಕ್ತಿ ಹೀಗಿದೆ; l ಎಂಬ ಸರಳ ರೇಖೆಯೊಂದನ್ನು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲದ ಬಿಂದು p ಯನ್ನು ದತ್ತವಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡರೆ p ಮೂಲಕ l ನ್ನು ಸಂಧಿಸದಿರುವಂತೆ l ಮತ್ತು p ಗಳ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ m ಇರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ m ರೇಖೆ l ಗೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುವುದಿದೆ.^[೯]

ಈ ಮೂಲಾಧಾರಗಳನ್ನಿರಿಸಿಕೊಂಡು ತಾರ್ಕಿಕ ನಿಗಮನದ ರೀತ್ಯ ಪ್ರವರ್ಧಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವೇ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಎಂದಾಯಿತು. ಯೂಕ್ಲಿಡನ ಕಾಲದಿಂದ ಹಿಡಿದು ಈ ತನಕವೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಬೋಧಿಸುತ್ತಿರುವ ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದುದೇ ಆಗಿದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡನ ತರುವಾಯ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಸು. 225), ಪಪ್ಪಸ್ (ಕ್ರಿ.ಶ.ಸು. 320) ಇವರು ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪರಂಪರೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿಕೊಂಡು ಹೋದರು. ಹದಿನೆಂಟು, ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೆಯ ಶತಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಈ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಶಾಖೆಗೆ ಕೆಲ ಮಹತ್ತ್ವಪೂರ್ಣ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಲಭ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ರಾಬರ್ಟ್ ಸಿಮ್ಸನ್ (1687-1768) ಹೆಸರನ್ನು ತ್ರಿಭುಜವೊಂದರ ಭುಜಗಳಲ್ಲಿ (sides) ಪರಿವೃತ್ತ ಪರಿಧಿಯ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಏರ್ಪಡಿಸುವ ಲಂಬಾಕ್ಷವಿಕ್ಷೇಪಗಳು ಏಕರೇಖಸ್ಥವಾಗಿರುತ್ತವೆ^[೧೦] ಎಂಬ ಶೋಧನೆಗಾಗಿಯೂ, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಬ್ರಿಯನ್‌ಶೋನ್ (1785-1864), ಜೀನ್ ವಿಕ್ಟರ್ ಪಾನ್‌ಸ್ಲೇ (1788-1867) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ವಿಲ್‌ಹೆಲ್ಮ್ ಫಾಯಿರ್‌ಬಾಕ್ (1800-34) ಇವರ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಭುಜದ ನವಬಿಂದು ವೃತ್ತದ (ನೈನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸರ್ಕಲ್) ಹಾಗೂ ಅದರ ಲಕ್ಷಣಗಳ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕಾಗಿಯೂ ಸ್ಮರಿಸಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಕಾಲಕ್ಕೂ ಹಿಂದೆಯೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ರೂಪಿತವಾಗಿತ್ತು ಎಂಬ ಅಂಶ ವಿಶೇಷತಃ ಗಮನಾರ್ಹ. ವಿರಳ ಅಪವಾದಗಳ ವಿನಾ ಇದರ ಮುಂದಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಈ ಮೂಲಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಗಳು ಮಾತ್ರವೇ ಆಗಿವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ನಿರ್ಮಾಣವಾಗುವ ಮುನ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಾತ್ರ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಬೇಕು ಎಂಬ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ್ದುಂಟು. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪ್ರಥಮ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ಈ ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಸೂತ್ರದ ನಿರಾಕರಣೆಯೇ. ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಕಾಲಾನಂತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಿದ ಗ್ರೀಕ್ ತಾತ್ತ್ವಿಕರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗೆಗೆ ವಿಶ್ವಾಸ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ ಅಪರಿಮೇಯ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು (ಇನ್‌ಕಮೆನ್ಷುರಬಲ್ ಸೆಗ್‌ಮೆಂಟ್ಸ್) ಪತ್ತೆಯಾದದ್ದೇ ಕಾರಣ.

• "Euclidean geometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Plane trigonometry", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Kiran Kedlaya, Geometry Unbound Archived 2011-10-26 ವೇಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಷಿನ್ ನಲ್ಲಿ. (a treatment using analytic geometry; PDF format, GFDL licensed)

ವಿಕಿಸೋರ್ಸ್ ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಲೇಖನದ ವಿಷಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ/ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಮತ್ತು ಆಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು