이차 상호 법칙

이차 상호 법칙에 따르면, ${\displaystyle p}$ 와 ${\displaystyle q}$ 가 서로 다른 홀수 소수일 때, 이차 합동식

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}\equiv p{\pmod {q}}\\y^{2}\equiv q{\pmod {p}}\end{cases}}}$

에 대하여 다음 두 경우가 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}}$ 라면 두 합동식 가운데 하나는 해가 존재하고, 다른 하나는 해가 존재하지 않는다.
• 그밖의 경우 둘 다 해가 존재하든지 둘 다 해가 존재하지 않는다.

서로 다른 두 홀수 소수 ${\displaystyle p}$ 와 ${\displaystyle q}$ 에 대하여 르장드르 기호 ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)}$ 는 ${\displaystyle p}$ 가 ${\displaystyle q}$ 에 대한 제곱잉여일 때 ${\displaystyle 1}$ , 그렇지 않을 때 ${\displaystyle -1}$ 로 정의된다.

르장드르 기호를 이용하면, 이차 상호 법칙을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}}$

우변은 ${\displaystyle p}$ 와 ${\displaystyle q}$ 를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 ${\displaystyle -1}$ 이 된다.

위의 등식은 야코비 기호로 확장할 수 있다. 1이 아닌 두 홀수 ${\displaystyle m}$ 과 ${\displaystyle n}$ 이 서로소일 때,

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}}$

이 성립한다.

또한, ${\displaystyle p>2}$ 가 소수라면 다음 두 법칙이 성립한다.

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}}$

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}}$

이를 각각 이차 상호 법칙의 제1 보충(二次相互法則의第一補充, 영어: first supplement to quadratic reciprocity)과 이차 상호 법칙의 제2 보충(二次相互法則의第二補充,영어: second supplement to quadratic reciprocity)이라고 한다.

가우스 정수의 이차 상호 법칙

가우스 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다.${\displaystyle p\in \mathbb {Z} [i]}$ 가 2가 아닌 가우스 소수이며, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} [i]}$ 가 ${\displaystyle p}$ 의 배수가 아닌 가우스 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

${\displaystyle \left[{\frac {k}{p}}\right]_{2}={\begin{cases}+1&p\nmid k\land \exists n\in \mathbb {Z} [i]\colon n^{2}\equiv k{\pmod {p}}\\-1&p\nmid k\land \nexists n\in \mathbb {Z} [i]\colon n^{2}\equiv k{\pmod {p}}\\0&p\mid k\end{cases}}}$

그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \left[{\frac {k}{p}}\right]_{2}\equiv k^{(N_{\mathbb {Q} [i]/\mathbb {Q} }(p)-1)/2}{\pmod {p}}}$

여기서

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} [i]/\mathbb {Q} }\colon a+bi\mapsto a^{2}+b^{2}}$

는 가우스 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 가우스 소수 ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} [i]}$ 에 대하여,

${\displaystyle \operatorname {Re} p\equiv \operatorname {Re} q\equiv 1{\pmod {2}}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} p\equiv \operatorname {Im} q\equiv 0{\pmod {2}}}$

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \left[{\frac {p}{q}}\right]_{2}=\left[{\frac {q}{p}}\right]_{2}}$

또한, ${\displaystyle i}$ 및 ${\displaystyle 1+i}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle \left[{\frac {i}{p}}\right]_{2}=(-1)^{\operatorname {Im} p/2}}$

${\displaystyle \left[{\frac {1+i}{p}}\right]_{2}={\Bigg (}{\frac {2}{\operatorname {Re} p+\operatorname {Im} p}}{\Bigg )}}$

아이젠슈타인 정수의 이차 상호 법칙

아이젠슈타인 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다.${\displaystyle p\in \mathbb {Z} [\omega ]}$ 가 아이젠슈타인 소수이며, ${\displaystyle N(p)\neq 3}$ 이라고 하자. 또한, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} [\omega ]}$ 가 ${\displaystyle p}$ 의 배수가 아닌 아이젠슈타인 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

${\displaystyle \left[{\frac {k}{p}}\right]_{2}={\begin{cases}+1&\exists n\in \mathbb {Z} [\omega ]\colon n^{2}\equiv k{\pmod {p}}\\-1&\nexists n\in \mathbb {Z} [\omega ]\colon n^{2}\equiv k{\pmod {p}}\end{cases}}}$

그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \left[{\frac {k}{p}}\right]_{2}\equiv k^{(N(p)-1)/2}{\pmod {p}}}$

여기서

${\displaystyle N\colon a+b\omega \mapsto a^{2}-ab+b^{2}=(a+b\omega )(a+b{\bar {\omega }})}$

는 아이젠슈타인 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 아이젠슈타인 소수 ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} [\omega ]}$ 가

${\displaystyle p=a+b\omega \qquad (3\nmid a,\;3\mid b)}$

${\displaystyle q=c+d\omega \qquad (3\nmid c,\;3\mid d)}$

의 꼴이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \left[{\frac {p}{q}}\right]_{2}\left[{\frac {q}{p}}\right]_{2}=(-1)^{(N(p)-1)(N(q)-1)/4)}}$

또한, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \left[{\frac {1-\omega }{p}}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right)}$

${\displaystyle \left[{\frac {2}{p}}\right]_{2}=\left({\frac {2}{N(p)}}\right)}$

레온하르트 오일러와 아드리앵마리 르장드르는 이차 상호 법칙을 추측하였으나 증명하지 못했다. 카를 프리드리히 가우스가 《산술 연구》(라틴어: Disquisitiones arithmeticae 디스퀴시티오네스 아리트메티카이^[*])에서 최초로 이차 상호 법칙을 증명하였다. 가우스는 이차 상호 법칙을 "기본 정리"(라틴어: Theorema fundamentale 테오레마 푼다멘탈레^[*])라고 불렀고, 이에 대하여 다음과 같이 적었다.

가우스는 평생에 걸쳐 이차 상호 법칙의 8가지 다른 증명을 제시하였다.^[1]

가우스 이후, 현재까지 발표된 이차 상호 법칙의 증명들은 200여 개에 이르며, 최근까지도 꾸준히 새로운 증명들이 발표되고 있다.^[1]

두 홀수 소수들 사이의 제곱 잉여 여부를 표로 나타내면 다음과 같다. 이차 상호 법칙에 따라, 표가 대각선을 중심으로 대칭이거나 반대칭임을 알 수 있다.

제곱 잉여 문제의 일부 예는 다음과 같다.

(p, q)	${\displaystyle p{\stackrel {?}{\equiv }}3{\stackrel {?}{\equiv }}q{\pmod {4}}}$	${\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}$	${\displaystyle x^{2}\equiv q{\pmod {p}}}$
(3,7)	${\displaystyle p\equiv 3\equiv q{\pmod {4}}}$	해 없음	${\displaystyle y\equiv \pm 1{\pmod {3}}}$
(3,5)	${\displaystyle p\equiv 3\not \equiv q{\pmod {4}}}$	해 없음	해 없음
(5,11)	${\displaystyle p\not \equiv 3\equiv q{\pmod {4}}}$	${\displaystyle x\equiv \pm 4{\pmod {11}}}$	${\displaystyle y\equiv \pm 1{\pmod {5}}}$
(5, 13)	${\displaystyle p\not \equiv 3\not \equiv q{\pmod {4}}}$	해 없음	해 없음
(13, 17)	${\displaystyle p\not \equiv 3\not \equiv q{\pmod {4}}}$	${\displaystyle x\equiv \pm 8{\pmod {17}}}$	${\displaystyle y\equiv \pm 2{\pmod {13}}}$

제곱잉여의 판별

일반적으로 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 판별하는 문제는 쉽지 않다. 이때 이차상호법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

예를 들어, 다음 합동식

${\displaystyle x^{2}\equiv 57{\pmod {127}}}$

이 해를 가지는지를 판별하여 보자. 이것은 르장드르 기호 ${\displaystyle \left({\frac {57}{127}}\right)}$ 의 값을 구하면 된다.

르장드르 기호의 성질에 의해,

${\displaystyle \left({\frac {57}{127}}\right)=\left({\frac {3}{127}}\right)\left({\frac {19}{127}}\right)}$

이다. 한편 3, 19, 127은 모두 4로 나눈 나머지가 3인 소수이므로 이차상호법칙에 의해

${\displaystyle \left({\frac {3}{127}}\right)=(-1)^{\frac {(3-1)(127-1)}{4}}\left({\frac {127}{3}}\right)=(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)=-1}$

이고

${\displaystyle \left({\frac {19}{127}}\right)=(-1)^{\frac {(19-1)(127-1)}{4}}\left({\frac {127}{19}}\right)=(-1)\left({\frac {13}{19}}\right)}$

${\displaystyle =(-1)(-1)^{\frac {(13-1)(19-1)}{4}}\left({\frac {19}{13}}\right)=(-1)\left({\frac {6}{13}}\right)=(-1)\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {3}{13}}\right)}$

${\displaystyle =(-1)(-1)(-1)^{\frac {(3-1)(13-1)}{4}}\left({\frac {13}{3}}\right)=\left({\frac {1}{3}}\right)=1}$

이다. 따라서

${\displaystyle \left({\frac {57}{127}}\right)=-1}$

이므로, 57은 127에 대한 제곱잉여가 아니다.

• Lemmermeyer, Franz (2000). 《Reciprocity laws: from Euler to Eisenstein》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-662-12893-0. ISBN 978-3-540-66957-9. ISSN 1439-7382. 
• Ireland, Kenneth; Michael Rosen (1990). 《A classical introduction to modern number theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 84 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-0-387-97329-6. ISSN 0072-5285.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

• “Quadratic reciprocity law”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Gauss reciprocity law”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadratic reciprocity theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Quadratic reciprocity law”. 《nLab》 (영어). 
• “Law of quadratic reciprocity”. 《ProofWiki》 (영어). 
  • “First supplement to the law of quadratic reciprocity”. 《ProofWiki》 (영어). 2015년 1월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 22일에 확인함. 
  • “Second supplement to the law of quadratic reciprocity”. 《ProofWiki》 (영어). 2015년 1월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 22일에 확인함. 
• 이철희. “이차잉여의 상호법칙”. 《수학노트》. 
• Buck, Nancy (2010). 《Quadratic reciprocity for the rational integers and the Gaussian integers》 (영어). 학사 학위 논문. The University of North Carolina at Greensboro. 

• 르장드르 기호
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