Kwadratische reciprociteit

Eén versie van de stelling zegt dat voor oneven priemgetallen ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ geldt:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1&{\mbox{voor}}&p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}\\+1&{\mbox{anders,}}&{\mbox{(dus voor }}p\equiv 1{\pmod {4}}\quad {\mbox{of}}\quad q\equiv 1{\pmod {4}}{\mbox{)}}&\end{cases}}}$

waarin

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)}$

het Legendresymbool is.

De stelling laat dus zien welke van de waarden +1 en -1 het product van de twee Legendresymbolen heeft en daarmee dat de kwadratische vergelijkingen

${\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}$

en

${\displaystyle x^{2}\equiv q{\pmod {p}}}$

beide oplosbaar of beide onoplosbaar zijn, tenzij zowel ${\displaystyle p}$ als ${\displaystyle q}$ bij deling door 4 de rest 3 hebben, in welk geval een van beide vergelijkingen oplosbaar is en de andere onoplosbaar. De stelling biedt echter geen houvast voor het vinden van de oplossingen.

Laat ${\displaystyle p,q>2,\ p\neq q}$ twee verschillende priemgetallen zijn. Dan geldt

Eerste aanvulling

${\displaystyle x^{2}\equiv -1\!\!{\pmod {p}}}$ is oplosbaar dan en slechts dan als ${\displaystyle p\equiv 1\!\!{\pmod {4}}}$ .

Tweede aanvulling

${\displaystyle x^{2}\equiv 2\!\!{\pmod {p}}}$ is oplosbaar dan en slechts dan als ${\displaystyle p\equiv \pm 1\!\!{\pmod {8}}}$ .

Laat ${\displaystyle p,q>2}$ priemgetallen zijn en stel ${\displaystyle q^{*}=q}$ , als ${\displaystyle q\equiv 1\!\!\!{\pmod {4}}}$ en ${\displaystyle q^{*}=-q}$ , als ${\displaystyle q\equiv -1\!\!\!{\pmod {4}}}$ . (Dat wil zeggen ${\displaystyle |q^{*}|=q}$ en ${\displaystyle q^{*}=1\!\!\!{\pmod {4}}}$ .) Dan is

${\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}$

dan en slechts dan oplosbaar, als

${\displaystyle x^{2}\equiv q^{*}{\pmod {p}}}$

oplosbaar is.

Het vermoeden, dat aan de stelling voorafging, werd door Euler en Legendre geuit. De stelling werd als eerste bewezen door Gauss^[1]. Gauss verwijst in de Disquisitiones Arithmeticae en zijn nagelaten werk naar deze stelling als de 'fundamentele stelling'. In de privésfeer had hij het over de 'gouden stelling'^[2]. Hij publiceerde zes bewijzen, en twee meer werden in zijn nagelaten papieren gevonden. Er zijn nu meer dan 200^[3] gepubliceerde bewijzen.

Het eerste deel van dit artikel maakt geen gebruik van de Legendre-symbool en geeft de formuleringen van kwadratische reciprociteit zoals deze zijn geformuleerd door Legendre en Gauss. Het Legendre-Jacobi-symbool werd geïntroduceerd in de tweede paragraaf.

• (en) Kwadratische reciprociteit^{[dode link]}