후레비치 준동형

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대수적 위상수학에서 후레비치 준동형(Hurewicz準同型, 영어: Hurewicz homomorphism)은 어떤 위상 공간의 호모토피 군에서 호몰로지 군으로 가는 군 준동형이다. 특수한 경우, 이 군 준동형은 후레비치 정리(영어: Hurewicz theorem)에 따라 군의 동형을 이룬다.

정의

점을 가진 공간 ${\displaystyle (X,\bullet )}$ 및 밑점을 보존하는 연속 함수

${\displaystyle f\colon (\mathbb {S} ^{n},\bullet _{\mathbb {S} ^{n}})\to (X,\bullet _{X})}$

가 주어졌을 때, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$의 기본류 ${\displaystyle [\mathbb {S} ^{n}]\in \operatorname {H} _{n}(\mathbb {S} ^{n};\mathbb {Z} )}$를 특이 호몰로지에 따라 밀어서 다음 호몰로지류를 얻는다.

${\displaystyle f^{*}[\mathbb {S} ^{n}]\in \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )}$

이 때 이 호몰로지류와 ${\displaystyle f}$의 호모토피류 ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X,\bullet _{X})}$를 대응하는 함수 ${\displaystyle h_{n}}$를 정의할 수 있다.

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle h_{n}\colon [f]\mapsto f^{*}[\mathbb {S} ^{n}]}$

이 함수를 후레비치 준동형이라고 한다.

성질

준동형성

${\displaystyle n\geq 1}$일 경우, 후레비치 준동형 ${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )}$은 군 준동형을 이룬다.

${\displaystyle n=0}$일 경우 ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$는 일반적으로 군의 구조를 갖지 않으며, 만약 ${\displaystyle X}$가 위상군이라도 이는 일반적으로 군 준동형을 이루지 않는다. (예를 들어, ${\displaystyle X=G}$가 이산 유한군일 때, ${\displaystyle h_{0}}$는 군환으로 가는 단사 함수 ${\displaystyle G\hookrightarrow \mathbb {Z} [G]}$에 대응하며, 이는 군 준동형이 아니다.)

함자성

${\displaystyle n\geq 2}$일 경우, 후레비치 준동형은 함자

${\displaystyle \pi _{n}(-)\colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to \operatorname {Ab} }$

${\displaystyle \operatorname {H} _{n}(-;\mathbb {Z} )\colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to \operatorname {Ab} }$

사이의 자연 변환 ${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}\Rightarrow \operatorname {H} _{n}(-;\mathbb {Z} )}$을 이룬다.

따라서 축소 현수 함자 ${\displaystyle \Sigma }$에 대하여 다음 사각형이 가환한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{n}(X)&{\xrightarrow {h}}&\operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )\\{\scriptstyle \Sigma }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \Sigma \\\pi _{n+1}(\Sigma X)&{\xrightarrow[{h}]{}}&\operatorname {H} _{n+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} )\end{matrix}}}$

${\displaystyle n=1}$ 또는 ${\displaystyle n=0}$인 경우에는 호모토피 군이 아벨 군이 아니므로 함자의 공역을 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$ 대신 각각 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$로 놓아야 한다.

낮은 차수의 후레비치 준동형

${\displaystyle n=0}$일 경우, ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$는 ${\displaystyle X}$의 경로 연결 성분의 집합이며, ${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(X;\mathbb {Z} )}$는 ${\displaystyle X}$의 경로 연결 성분들의 집합으로부터 생성되는 자유 아벨 군이다. 따라서, 0차 후레비치 사상은 집합에서 그 집합으로 생성되는 자유 아벨 군으로 가는 표준적인 포함 함수이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 단사 함수이다.

${\displaystyle n=1}$이고 ${\displaystyle X}$가 경로 연결 공간인 경우, 후레비치 준동형은 아벨화이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(X;\mathbb {Z} )}$는 기본군 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$의 아벨화이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 전사 함수이다.

${\displaystyle n>1}$일 경우, 후레비치 준동형은 일반적으로 전사 함수도, 단사 함수도 아니다.

n-연결 공간 위의 후레비치 준동형

후레비치 정리에 따르면, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 후레베치 준동형

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X)\to \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )}$

에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle X}$가 경로 연결 공간(즉, 0-연결 공간)이며 ${\displaystyle n=1}$이라면, ${\displaystyle h_{n}}$은 아벨화 준동형이다.
• 만약 ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle (n-1)}$-연결 공간이며 ${\displaystyle n\geq 2}$이라면, ${\displaystyle h_{n}}$은 아벨 군끼리의 동형 사상이다.
• 만약 ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle (n-2)}$-연결 공간이며 ${\displaystyle n\geq 3}$라면, ${\displaystyle h_{n}}$은 아벨 군끼리의 단사 군 준동형이다. 그러므로, ${\displaystyle \operatorname {H} _{n}(X;\mathbb {Z} )}$는 ${\displaystyle \operatorname {\pi } _{n}(X)}$의 몫군이다.

예

${\displaystyle n}$개의 원들의 쐐기합 ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}}$을 생각하자.

• ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}}$의 기본군은 자유군 ${\displaystyle \langle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\rangle }$이며, 그 생성원 ${\displaystyle a_{i}}$는 모두 ${\displaystyle n}$개이며 각 원에 대응한다.
• ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{1})^{\vee n}}$의 1차 호몰로지 군은 자유 아벨 군 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus n}}$이며, 그 ${\displaystyle n}$개의 생성원 역시 각 원에 대응한다.

이 경우, 후레비치 준동형 ${\displaystyle h_{1}\colon \pi _{1}\to \operatorname {H} _{1}}$은 아벨화 사상이며, 각 원에 대응하는 자유군의 생성원을 같은 원에 대응하는 자유 아벨 군 생성원에 대등시킨다.

역사

1935년 비톨트 후레비치가 후레비치 준동형을 정의하였다.^[1][2][3][4]

각주

외부 링크

• “Hurewicz theorem”. 《nLab》 (영어).