ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ്

ചാക്രികമല്ലാത്ത ഏറ്റവും ചെറിയ ഗ്രൂപ്പാണ് ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ് (Klein group). നാല് അംഗങ്ങളുള്ള ഈ ഗ്രൂപ്പ് ക്ലൈൻ ഫോർ ഗ്രൂപ്പ് (Klein four-group), ഫിയെറെർഗ്രൂപ്പെ (Vierergruppe) എന്ന പേരുകളിലും അറിയപ്പെടുന്നു. ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫെലിക്സ് ക്ലൈൻ 1884-ൽ ഇതിന് Vierergruppe എന്ന് പേരിട്ടു, അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരിലാണ് ഗ്രൂപ്പിനെ ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

2 അംഗങ്ങളുള്ള ചാക്രികഗ്രൂപ്പിന്റെ (${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$) അതിനോടുതന്നെയുള്ള നേർ-ഉല്പന്നമാണ് ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ്. ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പിനു പുറമെ 4 അംഗങ്ങളുള്ള ഒരേയൊരു ഗ്രൂപ്പായ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ചാക്രികഗ്രൂപ്പാണ്. ചാക്രികമല്ലെങ്കിലും ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ് ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പാണ്.

ഉല്പന്നത്തെ 8 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടം സംക്രിയയും, {1,3,5,7} ഗണവുമായുള്ള ഗ്രൂപ്പ് ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പാണ്. സമചതുരമല്ലാത്ത സമഭുജസാമാന്തരികം, ചതുരം എന്നിവയുടെ സമമിതികളുടെ ഗ്രൂപ്പും ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ് തന്നെ.