Laplace-operator

Laplaceoperatoren er ein andreordens differensialoperator i n-dimensjonalt euklidsk rom, definert som divergensen (${\displaystyle \nabla \cdot }$ ) til gradienten (${\displaystyle \nabla f}$ ). Så om f er ein dobbelderiverbar funksjon med reell verdi, så er laplaceoperatoren f definert som

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f,}$    (1)

Tilsvarande er laplaceoperatoren f summen av alle dei ublanda andregrads partiellderiverte i kartesiske koordinatar ${\displaystyle x_{i}}$ :

${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}.}$    (2)

Som ein andreordens differnsialoperator mappar laplaceoperatoren C^k-funksjonar til C^k−2-funksjonar for k ≥ 2. Uttrykket (1) (er tilsvarande for (2)) definerer ein operator Δ : C^k(Rⁿ) → C^k−2(Rⁿ), eller meir generelt ein operator Δ : C^k(Ω) → C^k−2(Ω) for alle opne sett Ω.

Laplaceoperatoren til ein funksjon er òg sporet til hessematrisa til funksjonen:

${\displaystyle \Delta f=\mathrm {tr} (H(f)).\,\!}$

Diffusjon

Innan diffusjon oppstår laplaceoperatoren (via laplacelikninga) naturleg i den matematiske skildringar av likevekt.^[1] Meir spesifikt, om u er tettleiken ved likevekt av ein storleik som ein kjemisk konsentrasjon, så er nettofluksen til u gjennom grensa til ein glatt region V lik null, om det ikkje finst kjelder eller sluk i V:

${\displaystyle \int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$

der n er utoverretta einingsnormal til grensa til V. Med divergensteoremet,

${\displaystyle \int _{V}\mathrm {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$

Sidan dette gjeld for alle glatte regionar V, kan det visast at dette impliserer

${\displaystyle \mathrm {div} \nabla u=\Delta u=0.}$

Venstrehandssida av likninga i laplaceoperatoren. Sjølve laplaceoperatoren har ei fysisk tolking for ikkje-likevektsdiffusjon som graden eit punkt representerer ei kjelde eller eit sluk av ein kjemisk konsentrasjon, gjort presist av diffusjonslikninga.

Tettleik tilknytt eit potensial

Om φ er elektrostatisk potensial tilknytt til ei ladingsfordeling q, så er ladingsfordelinga sjølv gjeven av laplaceoperatoren φ:

${\displaystyle q=\Delta \phi .\,}$

Dette er ei følgje av gausslova. Så om V er eit glatt område, så får ein av gausslova at fluksen til det elektrostatiske feltet E er lik ladinga i feltet (medhøvande einingar):

${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} =\int _{\partial V}\nabla \phi \cdot \mathbf {n} =\int _{V}q\,dV,}$

der den første likskapen nyttar faktumet at det elektrostatiske feltet er gradienten til det elektrostatiske potensialet. Divergensteoremet gjev no at

${\displaystyle \int _{V}\Delta \phi \,dV=\int _{V}q\,dV,}$

og sidan dette gjeld for alle område V, følgjer (1).

Den same tilnærmingsmåten gjev at laplaceoperatoren til eit tyngdepotensial er massefordelinga. Ofte er ladingsfordelinga (eller massefordelinga) gjeven, og det tilknytte potensialet ukjent. Å finne potensialfunksjonen som høver til passande grenseviklåer er det same som å løyse poissonlikninga.

Energiredusering

Ein annan motivasjon for laplaceoperatoren i fysikk er at løysinga til ${\displaystyle \Delta f=0}$ i eit område U er funksjonar som gjev dirichletenergi funksjonell stasjonært:

${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\Vert \nabla f\Vert ^{2}\mathrm {d} x.}$

For å sjå dette må ein tenkje seg at${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ er ein funksjon, og ${\displaystyle u\colon U\to \mathbb {R} }$ er ein funksjon som forsvinn på grensa til U. Då har ein

${\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}{\Big |}_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,\mathrm {d} x=-\int _{U}u\Delta f\mathrm {d} x}$

der den siste likskapen følgjer av den første greenidentiteten.Denne utrekninga syner at om ${\displaystyle \Delta f=0}$ , så er E stasjonær rundt f. Motsett, om E er stasjonær rundt f, så er ${\displaystyle \Delta f=0}$ av den grunnleggjande hjelpesetninga av variasjonsutrekning.

To dimensjonar

Laplaceoperatoren i to dimensjonar er gjeven som

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$

der x og y står for dei vanlege kartesiske koordinatane i xy-planet.

I polarkoordinatar,

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}$

Tre dimensjonar

I tre dimensjonar er det vanleg å arbeide med laplaceoperatorar i fleire forskjellige koordinatsystem.

I kartesiske koordinatar,

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

I sylindriske koordinatar

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$

I sfæriske koordinatar

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}$

(her representerer φ asimutvinkelen og θ polarvinkelen).

N dimensjonar

I sfæriske koordinatar i N dimensjonar, med parametriseringa x = rθ ∈ R^N med r som ein positiv reell radius og θ som eit element av einingssfæreen S^N−1,

${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$

der ${\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}$ er Laplace–Beltrami-operatoren på ein (N−1)-sfære, òg kalla ein sfærisk laplaceoperator. Dei to radielle uttrykka kan skrivast om som

${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.}$

Som følgje av dette er den sfæriske laplaceoperatoren ein funksjon definert som S^N−1 ⊂ R^N og kan reknast ut som den ordinære laplaceoperatoren til ein funksjon utvida til R^N\{0} slik at han er konstant langs stråler, t.d. , homogen i nulte grad.

Laplaceoperatoren kan generaliserast på to måtar for ikkje-euklidske rom, der han kan vere elliptisk, hyperbolsk eller ultrahyperbolsk.

I minkowskirom vert laplaceoperatoren d'Alembert-operatoren:${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}.}$

D'Alembert-operatoren vert òg kalla bølgjeoperatoren, fordi han er den differensialoperatoren som dukkar opp i den firdimensjonale bølgjelikninga. Han er òg ein vesentleg del av Klein–Gordon-likninga. Forteiknet føre dei romleg deriverte er negative, medan dei ville ha vore positive i eit euklidsk rom. Tilleggsfaktoren c må ein ha om rom og tid er målt i forskjellige einingar.

Laplace–Beltrami-operator

Laplaceoperatoren kan òg generaliserast til ein elliptisk operator kalla Laplace–Beltrami-operatoren definert på ein riemannsk manifold. D'Alembert-operatoren vert generalisert til ein hyperbolsk operator på pseudo-riemannsk manifold. Laplace–Beltrami-operatoren kan òg generaliserast til ein operator som opererer på tensorfelt.